image 110

110 Wybrane problemy projektowania anten i szyków antenowych

Równanie (6.39) zawiera N niewiadomych współczynników i aby je rozwiązać musimy skonstruować układ N niezależnych równań. Do chwili obecnej najszersze zastosowanie znalazły dwa podejścia, z kórych pierwsze, zwane metodą dopasowania punktowego (ang. point matching) jest szczególnie proste co do idei jak i implementacji numerycznej.

W metodzie dopasowania punktowego zakłada się, że równanie (6.39) powinno być spełnione w N punktach r_m, gdzie m = 1... AT, czyli:

5>.£(9.)lf=f_m =Mf=f_m    (8'⁴°)

t=l

Oznacza to w praktyce, że warunki brzegowe dla danego problemu będą spełnione jedynie w wybranej, skończonej liczbie punktów.

W efekcie stosowania takiej procedury z (6.40) uzyskujemy układ liniowy N równań z N niewiadomymi, który można rozwiązać korzystając z klasycznych metod rachunku macierzowego [26]. Jeśli chcemy, aby warunki brzegowe były spełnione w większej liczbie punktów, to musimy zwiększyć liczbę punktów N, co zwiększa wymiar macierzy i w przypadku dużych wartości może prowadzić do pewnych trudności na etapie implementacji numerycznej.

Warto w tym momencie zwrócić uwagę na znaczenie odpowiedniego doboru funkcji bazowych gi{r). Może on spowodować znaczne uproszczenie lub utrudnienie obliczeń. Przykładowo, jeśli funkcje bazowe stwarzają możliwość obliczenia analitycznego £(&), to implementacja numeryczna procedury może się znacznie uprościć. W przeciwnym przypadku konieczność numerycznego obliczania L(<fc) może znacznie obniżyć sprawność numeryczną procedury. Problem optymalnego doboru funkcji bazowych, ze względu na jego znaczenie, zostanie dokładniej omówiony w dalszej części rozdziału.

Podsumowując własności rozwiązania metodą dopasowania punktowego podkreślmy raz jeszcze, że dla punktów różnych od punktów dyskretyzacji rozwiązanie przybliżone może znacznie odbiegać od rozwiązania dokładnego. W efekcie celowe wydaje się opracowanie metody, która gwarantowałaby minimalizację błędu na całym brzegu obszaru, nie zaś w wybranych, dyskretnych punktach.

Metoda taka, zwana powszechnie metodą momentów [13], została opracowana i jest w chwili obecnej szeroko stosowana w rozwiązywaniu zagadnień wewnętrznych i zewnętrznych elektrodynamiki. Gwarantuje ona minimalizację błędu spełnienia warunków brzegowych na całym brzegu, jakkolwiek nie jest możliwe w tym przypadku wskazanie punktów, w których warunki te będą dokładnie spełnione.

Przed przystąpieniem do bardziej szczegółowego opisu metody wprowadzimy pewne użyteczne pojęcia z zakresu analizy funkcjonalnej. Zdefiniujemy