img015

REGUŁY CAŁKOWANIA

Uwaga 23

W powyższych wzorach całkowanie odnosi się do tych przedziałów, w których funkcje podcałkowe są ciągłe.

Przykłady obliczania najprostszych całek nieoznaczonych

2.4    ftf,*=rł=“-£*.r-*_ rx&=.«<-4

J    J COS X    J COS X J

2.5    jfl—^l—\jx^fxdx = J(l-x‘²)l/x *²dx = j(l-x'²)x⁴dx =

~ⁱdx=-

x'⁴⁺‘    4 1    4    4{**+7)

-- -= — X⁴ + -n=-    . r—

i^{+1    7}

VI VI

dx

fVI-2VI^r + l. fx²-2x³+l

“J——r^-r --- r --- r - -

= Jx^{2 4}<ic-2Jx^{3 4}dr+jx ⁴d* =

—♦i    -4*1

X⁴    „X¹² X ⁴    4 ₄<- 24 „ry 4,/y-

= TT-²—⁺-TT7=7^Vl--x^x⁵+-Vx³.

4⁺¹    n⁺¹    -z^+1    5

cos² x-sin‘ x

-dx

i.# f “rT~—i— ⁼ J

J sin a: cos x J

cos x sin x sin² x+cos² x

= f—-f

J sin² x J

sin x J cos x

dx

— = -ctgr-tg*.

dx

•2

sin xcos x J sin xcos x

<^= f-^-+f-^r-=tg*-ctgx, J cos x J sin x

J—

iY lfi

iY, i rfiY

2- 4 -4 4 i* = 2    4 dx~ 4\dx =

512

5 J 12

= 2

(I)' t&

= -2—r—r+'5- ¹

lni 5 ln* 5*ln5    2*In2‘

Uwaga 2.4

W matematyce przez funkcje elementarne rozumie się wszystkie funkcje, które można otrzymać z funkcji stałej, potęgowej, wykładniczej, funkcji trygonometrycznych i funkcji odwrotnych względem nich poprzez wykonanie skończonej ilości ich dodawań, odejmowań, mnożeń, dzieleń oraz złożeń (superpozycji).

Funkcja pierwotna funkcji elementarnej wdanym przedziale nie musi być funkcją elementarną, natomiast pochodna funkcji elementarnej jest zawsze funkcją elementarną.

Całka nieoznaczona funkcji elementarnej może więc nic mieć (nie zawierać) ani jednej funkcji elementarnej. Można udowodnić, iż każda z poniższych całek nie da się wyrazić poprzez funkcje elementarne:

(2.10)    |Vł + x³dc,    je'* dx, J"sinx²dx,

15