img031

31

^yj»•••»y_n liczby    czyli punkt ł c Rⁿ . Dalej ooetęoujemy

podobnie. We wzorach (2.13) zamiast x₁,...»x_n podstawiamy i otrzymujemy punkt ?cRⁿ ltd. W ten sposób konstruujemy cięg x,ł,... punktów zbioru Rⁿ, który Jost zbieżny, wesensle metryki przestrzeni E_n, do Jedynego rozwiązania r układu (2.12),

II# Niech teraz d. będzie metrykę kertezJertskę d. (x,y) »

rⁿ ił

*    ^*i"^Yi^²|    • ^w6"^cza8 , na podstawie nierówności Cauchy'ego (zob.

ćwiczenie l#l)_t mamy

n n    „    n _

^(f(x),f(y)) . y I ^L*²/<*.y)

i«lLj«i    J    i»l j«l

Stęd wynika, że warunkiem wyetarczejęcye r.a to, aby przekształcenie f określone wzorami (2.13) było zwężajęce w przypadku II jest, aby

n n

E E^^<5

i-i j-1

Ponieważ przeetrzeń (Rⁿ,d^, jest identyczna z przestrzenia E°, która Jest zupełna (udowodnimy to w wykładzie 4), więc rozumując zupełnie podobnie Jak w I, stwierdzamy, że spełnienie powyższego warunku implikuje, że układ (2.12) *8 dokładnie jedno rozwiązanie i to rozwiązanie możne znaleźć metodę kolejnyełf-przybliżeó.

Podkreślmy, że raówięc o zbieżności cięgu kolejnych przybliżeń .dn rozwięzanla dokładnego r »amy teraz na myśli zbieżność w sensie odległości wprowadzonej w przestrzeni Eⁿ, a nie w sensie odległości określonej w I i generujęcej przestrzeń E_n, chociaż metryki przestrzeni E_ni Eⁿ s« równoważne.

Ćwiczenia

2*1. Niech (Z,d) będzie przeetrzenię metrycznę. Pokazać» że ksżdy cięg fundamentalny w tej przestrzeni jest ograniczony.

2.2. Niech y będzie ustalonym punktem zbioru Z. Pokazać, że jeśli odległości# w zbiorze Z jest funkcjf d, s w zbiorze R - metryka kartezjańske, to operator Zax—*d(x,y)« R jeet clęgły w zbiorze Z.