img033

33

f(*.y) • ''liln (x².y²)’. f(x,y) « srccos    ,

f(x.y) » log(-x-y)

((x,y)cR²).

tp

2.4.    Załóżmy, że funkcje f:R—»R spełnia warunek

A V A lf(x)-f(a)1< £ ^1 x-bI< 6

£ >0 <5>0 x c R

Czy f Jest cięgła w punkcie x » a a sensie metryki d_k?

2.5.    Wykazać cięgłość funkcji x —1x1 w przestrzeni E^.

2.6.    Pokazać, że funkcja ftRⁿ—*■ R określona następująco:

jest cięgła a kaźdya punkcie zbioru Rⁿ (a zbiorze Rⁿ obowięzuje metryka kartezJaiSska) .

2.7.    Oonieść, że funkcja R° a (**....,x_n)cos x_l (n>i) Jest-cięgła a punkcie (0,..._t0)c Rⁿ, jeśli a zbiorach Rⁿ i R wprowadzono metrykę kartezjahskę.

2.8.    Niech .

| ^ , gdy x ■ jest ułamkiem nleskracalnycn; m>0, f(x) « {

I 0 , gdy x jest liczbę niewymiernę.

Pokazać, te a przestrzeni E^ funkcja f Jest cięgła w punktach niewymiernych oraz nieclęgła w punktach wymiernych.

2.9.    Czy a twierdzeniu Banacha można przyjęć q - 1? Odpowiedź uzasadnić odpowiednia przykładem.

2.10.    Zastosować twierdzenie Banacha do rozaięzania równania

x * <| sin x ♦ 2 gdzie: xcR.

2.11.    Pokazać, że Jeśli (Z,d) jest przestrzenia zupełnę oraz M,d)

Jest również przestrzenia zupełnę, gdzie MC Z, to zbiór M Jest domknięty w przestrzeni (Z,d). Porównaj twierdzenie 2.3.

2

2.12. Dowieść, ze w przestrzeni (R,f) mamy _mlim^* * +⁰⁰.