img092

92

2. Niech

f t«^Z 3 (x,y) —*

O dla x • y

xy    <11®    x²*y² > O

Wówczas

	_ 11)n tCH.y)-f(O.y)	. ii- fv y )
	h"-^0 ^h	h—» 0 h*+y‘
o % JC sfe	. l±m f(*A)~ f(*.Q) k — 0 ^k	« lim (x -%-%) k—0 x%k^Z
Wynika stfd, źa	|y37 (0,0) • -1, natomiast (0,0) -

pochodna alaszana funkcji f nla sę równa w punkcie (0,0), Można sprawdzić, źa poza punktaa (0,0) pochodna alaszana drugiego rzędu funkcji f M Już równa w keźdya punkcie (x,y) 4 (6,0),

Twierdzenie 8.1 (o równości pochodnych wieszanych drugiego rzędu),

Oaśll pochodna częstkowe    i    14J4". i / j;

istnieję w pawnaj kuli K(a,r)cRⁿ oraz obła s? cięgła w punkcie a, to

■ i\ <•> ■ a«* a«₃ ^(B)

0 o w ó d, Ola uproszczenia zapisu oraz być aoża dla zwiększania przejrzystości wykładu, dowód podaay tylko w przypadku 1 ■ 1, J • 2, Niech

^r "    * ^⁸i'*2^ł^2^,a3'**

♦ ^f<»l.....•„>

" ^(*j^,*2*^2^,*3^,*^,,,*n^ "    *i^#®2*^#* *

Wówczas r jest przyrostów wartości funkcji F przy zalania zmien-naj Xj od wartości a^ do    °o funkcji F stosujemy teraz twler*

dzanla Lagrange'a (strona 66) 1 otrzyaujeny

	■ ^hi[l^ ^f
|1- (•ł*Vl'«2.	l#.,,a )

2*3

fdzles O < 1.