img037

37

37

wskaźnik k> n. Wówczas		^sk-^rk * 1 •
1 >/k	(zobacz definicje	lk 1 »k or.z
	• ^rr»u •k^_ł-k	* (*k-^rk> * <
dla	1 k, co oznacza,	że lim r, » 1 —— OD *

»“_k“i_k ^ crez r₁e<i_k,8_k> dli nierówność (3.2)). A zatem

^rk-¹ki^<l♦ ? ■^£

g, a to koóezy dowód twierdzenia

Przestrzeń euklidesowo Eⁿ

Przestrzeń euklideaowa E* (zobacz przykład 3, str. 10 ) Jest prze-atrzenlę metrycznę (ćwiczenie 1.2). Możne więc w niej rozważać kule. sfery, zbiory otwarte i domknięte, można też mówić o zbieżności cięgu elementów tej przestrzeni oraz p wszystkich pojęciach wprowadzonych wcześniej dla dowolnych przestrzeni metrycznych. Wiemy też, że przestrzel Eⁿ Jeet zupełna. Zatem w Eⁿ słuszne sę nie tylko wszystkie dotychczas poznane twierdzenia o przestrzeniach metrycznych, ale również twierdżenie Banacha i Cantore.

W dalszym cięgu, podobnie jak w geometrii analitycznej, elementy zbioru Rⁿ będziemy często nazywać wektorami. Deśli x ■ (x.,..*,x_n) i y « (y_1#...y₀) sę wektorami oraz cC jest liczbę rzeczywistę, to

x ♦ y - (x₁4.y₁,.,,,x_n>y_n) C Rⁿr

ot x » (oC    * x_n) c Rⁿ

Z wykładów geometrii analitycznej wiadomo również, że w przestrzeni £ⁿ istnieje dokładnie n wektorów liniowo niezależnych, Oakikolwiek zbiór n liniowo niezależnych wektorów przestrzeni Eⁿ nazywamy bazę tej przestrzeni. Wybierając Jako bazę wektory £,...,2, możemy ksżdy wektor xe Rⁿ przedstawić Jednoznacznie w postaci n

*    ■ C ^xi* “ <V*^xn^;

i-1

Liczby x«,...,x_łt nazywamy współrzędnymi wektora x względem baży

*    n

,••»,«. 3eet oczywistym, że ten sam wektor może mieć różne współrzędne względem różnych baz. W dalszym cięgu będziemy przyjmować za bazę przestrzeni Eⁿ najczęściej wektory postaci £ « (0,0,1,0,...,0), i * l,...,n (jedynka znajduje alę na i.miejscu).