img054

54

Operacje uśredniania po czasie i zbiorze są przemienne

<cos^J1*[a>₀t ♦ 8j_M(t)]> = e|<cos(²[ ta>_Qt «■ 8g_M(t)]>

Spodziewamy się, że wielkość <cos'²[ co_ot + 8g_M(t)J> odpowiadająca pojedynczej realizacji procesu <pg_M(t) uśrednionej po czasie na długim horyzoncie jest równa zeru, jeśli tylko odchyłka 8ę_M(t) ma zerową wartość średnią    ■ 0. Ostatecznie otrzymujemy, że moc sygnału modula

cji $M .wynosi

<wi^Ao    <^ł-²-⁵⁸>

i jest równa mocy niemodulowanego sygnału nośnego.

1.2.2b. Przypadki graniczne modulacji

Analiza widmowa sygnałów modulacji kąta fazowego w przypadku dowolnego sygnału modulującego nastręcza istotne trudności, które czynią ją praktycznie niemożliwą. Tym niemniej zagadnienie to było w literaturze badane szeroko, wszakże końcowych rezultatów (w przypadku ogólnym) w zwartej postaci nie otrzymano [13, 8]. Omówimy teraz, w sposób jakościowy, trzy mechanizmy charakterystyczne dla tej modulacji, które są bezpośrednią przyczyną niepowodzeń analizy widmowej.

Poznane wcześniej modulacje amplitudy są modulacjami liniowymi, tzn. jeżeli sygnał modulujący jest sumą dwóch sygnałów, to sygnał zmodulowany można przedstawić w postaci sumy dwóch sygnałów zmodulowanych sygnałami składowymi. Przykładowo:

x(t) = x_i(t) * x₂(t)

^łDSB-SC^{Ct) 1 kA}o^{x(t) cos}"o^{t = kA}o^[xl^{(t) ł x}2^(t)l    ⁼

*    M₀*₁(t)eo.»₀t ♦ k*₀x₂(t)cos»₀t *<fDSB-SC^Ct> *

*    ^<fDSB-SC^(t)

Jak łatwo sprawdzić, takie przedstawienie nie jest możliwe w przypadku modulacji kąta fazowego - zatem modulacji nieliniowej. Fakt ten istotnie utrudnia wyznaczę*le transformaty Fouriera tego sygnału (przekształcenie Fouriera jest liniowe).