img080

80

próbkowania. Jest to oczywiście tylko przypuszczenie, które należy udowodnić formalnie, wskazując w szczególności, jak często należy sygnał próbować i jaka ma być procedura odtwarzania. Twierdzenie takie jest znane bądź jako twierdzenie Kotielnikowa - Shannona, bądź Jako twierdzenie o oprób-kowaniu; mówi ono, że jeżeli x(t) jest sygnałem dolnopasmowym o szerokości pasma o>g = 2wfg, to sygnał ten może być odtworzony bez jakichkolwiek zniekształceń na podstawie swoich równomiernie pobieranych próbek x(lT₀), 1 = 0, -1,-2,*..., gdzie T_Q< *n/ co_g = 1(2 f_g) (odstęp Nyquista). Odtworzenie sygnału oryginalnego z próbek może być zrealizowane poprzez filtrację sygnału spróbkowanego, rys. 1.23.

Rys. 1.23. Sygnał oryginalny i sygnał spróbkowany

x_g(t) * £    x(lT₀)<5(t - 1T₀) = x(t)«5_T (t)    (1.3.1)

1 = - eo

w idealnym filtrze dolnoprzepustowym o częstotliwości odcięcia Wg.

Dowód twierdzenia o próbkowaniu nie jest zbyt skomplikowany i sprowadza się w zasadzie do wyznaczenia widma gęstości mocy sygnału spróbkowanego (1.3.1). Obliczamy najpierw uśrednioną po czasie funkcję korelacji własnej sygnału (1.3.1) przy założeniu, że sygnał oryginalny x(t) Jest stacjonarnym procesem losowym o funkcji korelacji R_y(«)—•■ S_x(w)

R_x (t ♦ Tj t) ■ x (t * tr)x (t) = x(t - r)x(tM_T (t+c)^_T(t) * s    0    0

= R_x(c)rfj (t - t)<5_t (t) o    o