img104

104

8. Metody probabilistyczne

8.3. Rozpoznawanie w przestrzeni wielowymiarowej

Wychodząc w rozważaniach poza prosty przypadek (n = 1, L = 2), musimy oprzeć sią na następującym rozważaniu upraszczającym.

Całkę (89) możemy zminimalizować, dobierając dla każdego rozpoznawanego obiektu x numer rozpoznawanej klasy i tak, aby funkcja podcałkowa (88) osiągała minimum. Z kolei minimalizacja funkcji Q(x) może być osiągnięta wtedy, gdy dla każdego obiektu x wybierana będzie taka decyzja i, dla której ocena straty (86) będzie minimalna. Tak więc należy wybierać ten numer klasy i, który odpowiada minimalnej wartości Q'(x). Funkcja Q‘(x) pełni więc rolę odwrotną do funkcji przynależności C'(x). Jeżeli teraz podstawimy (87) do (86), to otrzymamy przydatny w dalszej analizie wzór:

1    ^

Q‘(x) = —-£ p^vP{xJv)q„i.    (100)

E    "⁼¹

n=i

Zauważmy, że E P^Pte/p) nie zależy od numeru klasy i, w związku z czym jest on jednakowy dla wszystkich Q’(x) i nie wpływa na decyzję. Usuwając wskazany czynnik, otrzymamy uproszczony wzór:

L

Q‘(z) = '52p‘'P(x/‘')<l*i-    (101)

i/=i

W celu efektywnego prowadzenia dalszych obliczeń musimy założyć coś o charakterze zależności q_ltr) (por. (83), (84), (85)). Niech

7(it) ⁼ 1 ^— i    (102)

_ ( 1    dla    p £ r),

⁹'"'    \ 0    dla    p = q.

gdzie Sw jest wprowadzoną wcześniej funkcją zgodności Kroneckera (por. wzór (32)). Warunek (102) jest często nazywany warunkiem symetrycznej funkcji strat, gdyż

(103)