img189

189

Dodatek 2. Dowód twierdzenia o zbieżności procesu uczenia ...

Sprzeczność wzorów (D2.18) i (D2.25) można usunąć jedynie w ten sposób, że założy się ograniczoną zmienność k

k <    -,    (D2.26)

co kończy dowód, gdyż wykazuje, że liczba pokazów musi być skończona, a po ich zaprezentowaniu osiągany jest stan pełnej poprawności procesu rozpoznawania.

Uogólnienie na przypadek wielu klas

Przeprowadzony dowód dotyczył szczególnego przypadku L = 2. Uogólnienie tego dowodu na przypadek L > 2 jest jednak bardzo proste. Problem majoryzacyjnej reguły wyboru jednej z L klas na podstawie funkcji przynależności

C<(ż) = £ V'_vx    (D2.27)

v=0

można zamienić na problem liniowej zwartości (por. (D2.8))

Ł(n+1)-1

o A a. ■15? W! n ■Jhi O	(D2.28)
przez prosty zabieg, polegający na zastąpieniu (n—l)-elementowych wektorów ciągu uczącego i* przez L(n + l)-elementowe wektory ż*, zbudowane według następującego schematu:
*(i» —l)(n+l)+i' — ^v — 0,1, - - -,	(D2.29)
**Fk-l)(n+l)+i/ ^= — *»i ^v ~ 0) 1* • • •>^n>	(D2.30)
Pozostałe elementy źj; = 0(^2).

Wzory (D2.29) i (D2.30) są sprzeczne przy i* = F^k, ale przypadki takie, podobnie jak w przedstawionym zadaniu L = 2, mogą być eliminowane z rozważań, gdyż nie powodują konieczności korekty. We wzorze (D2.28),

(²) Szczegółową dyskusję przyjętych oznaczeń przeprowadzono w rozdziale 6.