img278

jest najczęściej stosowany w praktycznych zastosowaniach regresji krzywoliniowej ze względu na ogromna różnorodność kształtu krzywych wielomianowych ora/, fakt pozostawania zmiennej y bez transformacji w tym modelu. Dąży się zazwyczaj do tego, aby stopień wielomianu p był jak najmniejszy. Za ograniczeniem wartości p przemawiają dwa argumenty:

—    im więcej składników uwzględnia się w równaniu regresji, tym bardziej pracochłonne stają się obliczenia,

—    z algebry wiadomo, że dla dowolnego zbioru punktów istnieje taka krzywa opisana równaniem postaci (13.3), która przechodzi dokładnie przez wszystkie punkty (dla k punktów będziemy mieli p = k - 1), jednak otrzymane równanie tak wysokiego rzędu raczej zagmatwa, niż rozjaśni obraz zależności.

Do wyznaczania parametrów funkcji regresji w przypadku modeli linearyzowalnych stosuje się, tak jak i poprzednio, estymatory metody najmniejszych kwadratów. Trzeba jednak pamiętać, że w metodzie najmniejszych kwadratów minimalizuje się odchylenia od modelu po linearyzacji¹. Zatem odchylenia będą liczone na logarytmach w modelu potęgowym i wykładniczym, co powoduje, że dopasowanie krzywej regresji do danych empirycznych będzie lepsze w pewnym zakresie skali², a gdzie indziej gorsze. Dlatego też w regresji krzywoliniowej stosuje się czasami ważoną metodę najmniejszych kwadratów, gdzie wagami przy kwadratach odchyleń są odwrotności oczekiwanych wariancji odchyleń. W przypadku transformacji zmiennej zależnej Y po dopasowaniu krzywej regresji oblicza się odchylenia na wielkościach we właściwej, wyjściowej skali (po rctransformacji) i wyznacza się ich średnią kwadratową według wzoru

(13-4)

gdzie y, = m(x,) jest to wartość funkcji regresji odpowiadająca obserwacji y_r jako jedną z miar dopasowania krzywej do danych empirycznych, obok charakterystyk zwykle stosowanych w modelu liniowym. Kłopotu tego nic nastręcza regresja wielomianowa. Modele wielomianowe sprawiają jednak kłopoty numeryczne, gdyż kolejne potęgi zmiennych niezależnych i ich iloczyny są silnie skorelowane, ponadto ich wartości różnią się czasami o kilka rzędów wielkości, a kowariancje między nimi różnią się nawet o kilkanaście rzędów wielkości. Transformując ten model na model regresji wielokrotnej uzyskujemy macierz kowariancji C nic tylko o bardzo zróżnicowanych elementach co do rzędu

278

1

   co oznacza, że trzeba być ostrożnym i sprawdzić, czy założenia metody najmicjszych kwadratów (niezależne błędy, N (0, O¹)) są zachowane przy dokonywaniu przekształcenia

2

   tu w pobliżu początku układu współrzędnych