KIF00

Wskal w każdym z podanych niżej wyrażeń: (I) każdego kwantynkatora. (2) zmienne związane tego wyrażenia. (3) zmienne wolne tego wyrażenia.

(a)    /\x(P(x)v/Kx,xH

(b)    f\xP(x)vQ{x.r)

(c)    A xlP(x)vQ(x)]A\/xKx.y).

(d)    \/xAylHx.y)AS(x,y)].

(e)    AxA#W^A    V ^xS(*> *>•

(0 /?(*.y)-*f A * V^v A*<?(*)]■

67. Schematy kwantyfikatorowc zawierające zmienne wolne reprezentują wyrażenia, które nie są zdaniami (nic są bowiem ani prawdziwe, ani fałszywe), lecz funkcjami zdaniowymi, tj. wyrażeniami, z których można otrzymać zdania na jednej z dwu dróg: (1) podstawiając na miejsce wszystkich wysypujących w nich zmiennych wolnych nazwy dowolnych przedmiotów rozważanego rodzaju, lub (2) wiążąc kwantylikatorami wszystkie występujące w nich zmienne wolne; można również łączyć te dwie procedury, podstawiając nazwy za niektóre zmienne wolne, a pozostałe wiążąc kwantylikatorami. Na przykład, z funkcji zdaniowej:

x=y+z

można otrzymać m. in. zdania:

5 = 3+2

A ^xVy\/ zx-y+z,

VyV* s-y+z.

Z funkcji zdaniowej :

^x jest ojcem y

otrzymujemy m. in.:

Jan jest ojcem Piotra, /\y V* x jest ojcem y (Każdy ma ojca),

V y Jan jest ojcem y (Jan jest (czyimś) ojcem).

Podaj przykłady prawdziwych zdań, które można otrzymać na każdej z omówionych wyżej dróg z następujących funkcji

zdaniowych:

(a)    x jest podziclnc przez y.

(b)    x+/.

(c)    Jeżeli x=f, to x jest podziclnc przez y.

(d)    Jeżeli .v jest laureatem nagrody Nobla, to x jest mniej popularny, niż y.

(c) x jest starszy od y lub y jest rówieśnikiem x.

(0 Jeżeli x jest profesorem uniwersytetu a y jest studentem, to x jest starszy od y.

68. Podstawiając nazwy za niektóre tylko zmienne wolne występujące w danej funkcji zdaniowej, lub wiążąc kwantyfika-torami tylko niektóre spośród tych zmiennych, nic otrzymujemy zdania, lecz nową funkcję zdaniową o odpowiednio mniejszej liczbie zmiennych wolnych. Na przykład, z funkcji zdaniowej o dwu zmiennych wolnych:

x jest stolicą y

można otrzymać m. in. następujące funkcje zdaniowe o jednej zmiennej wolnej:

Santiago jest stolicą y, x jest Stolicą Chile,

V    x x jest stolicą y,

V    )' x jest stolicą y.

Podaj przykłady funkcji zdaniowych o jednej zmiennej wolnej, które można otrzymać z podanych niżej funkcji zda-

Plv

55