KIF03

i nicparzystości oraz z zachodzącą między nimi relacją bycia dwukrotncscią. Zbadaj, który z podanych niżej schematów stanie się zdaniem prawdziwym w tej dziedzinie, gdy (1) za zmienną predykatową P podstawimy predykat „parzysty", za Q—predykat „nieparzysty", a za R— predykat „dwukrot-ność”, (2) za zmienną predykatową P podstawimy predykat .nieparzysty”, za Q — predykat „parzysty”, a za R — predy-kat „dwukrotność".

(a) \łx\/y{P(x)AQb)*R(x,y)l

(b)    AĄP(x)^ \J>iQ(>)AlKx.y))).

(c)    A W— V **<*•>-))]•

(d)    V A 20')    .>'))]•

(c) A^A>W*)^a0(>’)-»^^)]-

(0 Ax/\y[P(x)AĄx.y)^Q(_>)).

cg) a* AMi.ri-pm

&) AxA>iR(x.y)^(P0)^Q(x))l

74*. Zbadaj, który¹ ze schematów (a)-(h) z zadania 73 staje się zdaniem prawdziwym w dziedzinie, którą stanowi ■ ludzie wraz z przysługującymi im własnościami bycia kobietą i bycia mężczyzną oraz z zachodzącą między nimi relacją bycia mężem, przy wszystkich dopuszczalnych podstawieniach nazw własności i relacji z tej dziedziny za zmienne predykatowe

P. Q, R.

75. Weź pod uwagę następujące trzy dziedziny:

(Dl) Liczby całkowite, własność bycia liczbą dodatnią, własność bycia liczbą ujemną, relacja mniejszości, relacja bycia kwadratem.

(D2) Przedmioty fizyczne, własność bycia ciałem stałym, własność bycia cieczą, relacja posiadania większego ciężaru, relacja posiadania większej objętości.

(D3) Zwierzęta, własność bycia kręgowcem, własność bycia

ssakiem, relacja przynależności do tego samego gatunku, relacja posiadania lepiej rozwiniętego układu nerwowego. Wśród podanych niżej schematów wskaż te. które stają się zdaniami prawdziwymi w każdej z dziedzin D1-D3 przy wszystkich podstawieniach nazw własności i relacji za odpowiednie zmienne predykatowe.

(*) V * V AP{x) a P(y) a R{x, >•)].

(b)    V * V yiP(x) a Q[y) A R(x. y)}.

(c)    A x[P(x)~* V ><*(x. y) vS(x, >•))].

(d)    A^xpM-+ A ^xQ(x)-

(c) A x[p(x) a e<jc)i— A x A y*(x. >•).

(f) - A V yiOiy) a r(x. ,»].

76. Dla schematów wyróżnionych w rozwiązaniu zadania 75 wskaż dziedziny, których istnienie świadczy o nictautolo-giczności tych schematów.

77*. Znajdując odpowiednią dziedzinę i stosowne podstawienia nazw własności czy relacji z tej dziedziny za zmienne predykatowe występujące w danym schemacie, można wykazać, że schemat ten nie jest tautologią, lub że nic jest kontrtauto-logią. Nic można natomiast dowieść na tej drodze tautologicz-ności (ani kontrtautologiczności) żadnego schematu kwantyfi-katorowego, wymagałoby to bowiem ustalenia, że w każdej dziedzinie prawdziwe (fałszywe) jest każde zdanie powstające z danego schematu w wyniku podstawienia za zmienne predykatowe nazw odpowiednich własności i relacji, a zdań tych jest nieskończenie wiele. W przypadku najprostszych schematów pytanie o ich tautologiczność można na ogół rozstrzygnąć bezbłędnie na drodze intuicyjnej (zob. przykłady w zadaniu 71); w przypadkach bardziej skomplikowanych intuicja często zawodzi.

41