KIF00

Wskaż w każdym z podanych niżej wyrażeń: (i)    ,'g

każdego kwantyfikatora. (2) zmienne związane lego wyrażenia, (3) zmienne wolne tego wyrażenia.

(a)    /\x[P(x)vfi(x.y)).

(b)    A xP(x)vQ(x.y).

(c)    A ^x\P{x) V &*)] A V xR(x, r).

(d)    V* AJW*>)aS(z,>)J.

W A ^x AA^p(x)^A Q(y)-*R(x> y)]-+ V ^xS(^x>*)■

(0 łKx,y)-*l/\x\/y(P(x) aS(z, >•)) V A *&*)]•

67- Schematy kwantyfikatorowc zawierające zmienne wolne reprezentują wyrażenia, które nie są zdaniami (nic są bowiem ani prawdziwe, ani fałszywe), lecz funkcjami zdaniowymi, tj. wyrażeniami, z których można otrzymać zdania na jednej z dwu dróg: (1) podstawiając na miejsce wszystkich występujących w nich zmiennych wolnych nazwy dowolnych przedmiotów rozważanego rodzaju, lub (2) wiążąc kwantyfikatorami wszystkie występujące w nich zmienne wolne; można również łączyć te dwie procedury, podstawiając nazwy za niektóre zmienne wolne, a pozostałe wiążąc kwantyfikatorami. Na przykład, z funkcji zdaniowej:

x=y+z

można otrzymać m. in. zdania:

5-3+2

f\x\J y\J zx-y+z,

V>’V^Z S-y+r.

Z funkcji zdaniowej:

x jest ojcem y

S4

otrzymujemy m. in.:

Jan jest ojcem Piotra,

ApV^{x x} jest ojcem y (Każdy ma ojca),

V >• Jan jest ojcem y (Jan jest (czyimś) ojcem).

Podaj przykłady prawdziwych zdań, które można otrzymać na każdej z omówionych wylej dróg z następujących funkcji zdaniowych:

(a)    x jest podziclnc przez y.

(b)    x+/.

(c)    Jeżeli x*zy*, to x jest podziclnc przez y.

(d)    Jeżeli x jest laureatem nagrody Nobla, to x jest mniej popularny, niż y.

(c) x jest starszy od y lub y jest rówieśnikiem x.

(f) Jeżeli x jest profesorem uniwersytetu a y jest studentem, to x jest starszy od y.

68, Podstawiając nazwy za niektóre tylko zmienne wolne występujące w danej funkcji zdaniowej, lub wiążąc kwantyfikatorami tylko niektóre spośród tych zmiennych, nic otrzymujemy zdania, lecz nową funkcję zdaniową o odpowiednio mniejszej liczbie zmiennych wolnych. Na przykład, z funkcji zdaniowej o dwu zmiennych wolnych:

x jest stolicą y

można otrzymać m. in. następujące funkcje /daniowe o jednej zmiennej wolnej:

Santiago jest stolicą y, x jest stolicą Chile,

\J x x jest stolicą y,

V y x jest stolicą y.

Podaj przykłady funkcji zdaniowych o jednej zmiennej wolnej, które można otrzymać z podanych niżej funkcji zda-

55