KIF26

^mcntow_Cgo

Na przykład, zbiorem potęgowym zbioru dwuclc

{o„ <h) j«* ^zbiór: (°.    ,{«i. o_t}}.

Wskaż zbiór potęgowy zbioru:

(a)    tf,-0

(b)

(c)    £/, = {o. {0}, {O. {0}jJ

152*. Ciałem zbiorów zawartych w zbiorze U na2 rodzinę zbiorów si spełniającą następujące warunki:

(1)    U es*.

(2)    A X[Xes/-*X' eć],

(3)    A*A Y[XeJ**Ye j/-+XuYe jS],

Wykaż, że jeśli rodzina zbiorów s/ jest ciałem zbioró. zawartych w pewnym zbiorze, to:

(a) 0ej/,

0>) A^A YlXej/AYe*->Xr\YejĄ,

(c) A*A YlXej*AYej*-+X-Yej*].

153.    Wykaż, że dla dowolnego zbioru U:

(a)    zbiór potęgowy 2^U jest ciałem zbiorów zawartych w V,

(b)    zbiór {0, U) jest ciałem zbiorów zawartych w U.

154.    Podziałem (niepustego) zbioru U nazywamy rodnię zbiorów si spełniającą następujące warunki:

(1)    A*l*6*-Ar*oL

(2)    /\X/\ Y\Xe jf *Ye s/ a X^Y-*Xr\Y=0],

(3)    \Jsśm{j.

Na przykład, rodzina zbiorów:

{zbiór ludzi pracujących, zbiór ludzi niepracująO^ jest podziałem zbioru wszystkich łudzi, bowiem: (I.¹

element rodziny z/, jest niepusty, (2) nicidentycznc elementy ¹ rodziny zd\ ^ rozłączne, (3) suma elementów rodziny ff_x jest równa zbiorowi ludzi. Natomiast rodzina:

j/_a-{zbiór ludzi pracujących fizycznie, zbiór ludzi pracujących umysłowo}

nic jest podziałem zbioru wszystkich ludzi, nic spełnia bowiem ani warunku (2) (wszak istnieją ludzie pracujący fizycznie i umysłowo), ani warunku (3) (istnieją bowiem ludzie niepracujący)-

Która z podanych niżej rodzin zbiorów jest podziałem zbioru wszystkich ludzi:

(_a) j/_l={zbiór ludzi, którzy żyli w XIX w., zbiór łudzi,

których przodkowie żyli w XIX w., zbiór ludzi, których potomkowie żyli w XIX w.}

(b)    .(✓- = {zbiór osób. które znają co najmniej dwa języki,

zbiór osób, które znają co najwyżej jeden język}

(c)    j/_s=(zbiór osób, które znają co najwyżej dwa języki.

zbiór osób, które znają co najmniej jeden język}

(d)    j/₄ = (zbiór ludzi, którzy są czyimiś rówieśnikami, zbiór

ludzi, którzy nic są niczyimi rówieśnikami}

155.    Niech U będzie zbiorem czteroclcmcntowyra:

*/={«!. «*• <**>««}•

Która z podanych niżej rodzin zbiorów jest podziałem zbioru U. (a) a/, «    <ł₄}, te. o,}}

0»)    = (te,^o*. aj. te)}

(c)    j/, - (te, a.}, te. a„ a,}}

(d)    ,i/₄ - ((«,}, (a*}. {<*}, {aj}}

(e)    - {{*,}, (u,, a₄J. (a,}}

156.    Skrzyżowaniem podziałów sd, -9 danego zbioru nazywamy rodzinę zbiorów, której elementami są wszystkie iloczyny

107