KIF32

tego zbioru:

R jest pełna w A = /\ x/\ y[x e A*y€ A-* <x, y)e A).

Na przykład, relacja bycia współczesnym jest pełna w zbiorze: {Cezar, Pompejusz, Cyceron).

Zbadaj własności formalne relacji pełnej w danym zbiorze.

183.    Zbadaj własności formalne relacji w zbiorze pustym.

184.    Sformułuj warunki, w których relacja R jest zarazem symetryczna i asymetryczna w zbiorze A.

185.    Relacją równościową (równością lub równoważnością)® w danym zbiorze nazywamy relację, która jest w tym zbiorze zwrotna, symetryczna i przechodnia. Na przykład, relacji podobieństwa jest równością w zbiorze figur na płaszczyźnie, a relacja równobarwności — równością w zbiorze dal barwnych.

Podaj przykład:

(a)    relacji, która jest równością w zbiorze ludzi;

(b)    relacji, która jest równością w zbiorze trójclcmcntowym:

{«i- ^ai^{t a}»}-

186.    Jeśli R jest relacją równościową w zbiorze A i przedmiot a jest elementem A, to zbiór tych elementów A, które pozostają w relacji R do a, nazywamy klasą abstrakcji równości R w zbiorze A wytworzoną przez element a; zbiór ten oznaczamy symbolem [aj*. Tak więc:

x € [a]_K=x e A a <x, a> e R.

" Pojęcie relacji równościowej należy odróżniać od pojęci* idueja-ooid, nazywanej czasem (zwłaszcza, gdy mowa o liczbach) inkas rAwui-clą. Nie należy go również mieszać z pojęciem równoważności jako silnia postaci pną.

Na przykład, zbiór wszystkich ludzi urodzonych w 1798 r. jest klasą abstrakcji relacji rówieśnictwa w zbiorze ludzi wytworzoną przez element a tego zbioru, gdy o = A. Mickiewicz.

Kicch zł będzie zbiorem przedmiotów fizycznych, R_y -relacją posiadania tej samej objętości. R_t - relacją posiadania tego samego kształtu, R, - relacją posiadania tej samej masy. Weź pod uwagę następujące klasy abstrakcji w zbiorze A:

(a)    (Piramida    Cheopsa]*,    (d) [Księżyc]*,

(b)    (Piramida    Chcopsa]*,    (e) (Księżyc]*,

(c)    (Piramida    Cheopsa]*,    (f) [Księżyc]*’

Do której z tych klas należy każdy przedmiot kulisty? Do której należy każdy ostrosłup o kwadratowej podstawie?Do której z tych klas należą tylko (choć nie wszystkie) ciała o objętości mniejszej niż objętość Ziemi ? Do której z tych klas nie należy na pewno żadne ciało o masie większej niż masa Ziemi? Do której z nich należy - być może - jakaś nowoczesna budowla?

187.    Wykaż, że jeśli R jest relacją równościową w zbiorze A oraz x. y są elementami A, to:

(a)    x €(*]„,

(b)    W*=[>]* a <*, y> e R,

(c)    Wr*    =0.

188.    Zbiór klas abstrakcji relacji równościowej R w zbiorze A nazywamy zbiorem ilorazowym zbioru A ze względu na relację R i oznaczamy symbolem AIR. Tak więc, jeśli R jest równością w A, to

Xe A!Rss V*f* € A a X= MJ.

Na przykład, zbiór narodów jest zbiorem ilorazowym zbioru ludzi ze względu na relację posiadania tej samej narodowości.

Wykaż, że jeśli R jest relacją równościową w zbiorze A i XeAlR, lo X<= A.

119