img294

jest (również z uwagi na unormowane wariancje) równa współczynnikowi korelacji zmiennych u i v, przy czym zachodzi równość

p„_v = L'Z₎M    (14.2)

Maksymalnej korelacji (warunek 14.2. przy warunku ubocznym 14.1.) poszukuje się metoda nieoznaczonych mnożników Lagrange’a. Po przekształceniach, (które tu pomijamy) otrzymuje się układ równań jednorodnych

[I l’l -p²I U = 0    (14.3)

lub symetrycznie

[I l'l -p²I    }m = 0    (14.4)

\ yx    xx    *,    r    xi>J    ^V '

gdzie p = p_ło>. Układ ten (tzn. (14.3)) ma niezerowe rozwiązanie tylko wtedy, gdy macierz układu jest osobliwa. Otrzymujemy zatem równanie wyznacznikowe

II Z'i -p²I    1=0    (14.5)

\ *r    yy    y*    ^r    *x |

które przy założeniu, że macierze i L_yy sq nieosobliwe, sprowadza się do dobrze znanego równania charakterystycznego

\A - p²/l = 0

gdzie macierz A - 1^ Z^ Z^ Z^ , lub symetrycznie według drugiego równania(tzn.

14.(4)) A = z'x z'l .

:■>    « xy

Pierwsze z równań ma /> pierwiastków, natomiast drugie q pierwiastków. Ponieważ jednak niezerowe dodatnie pierwiastki obu równań sq identyczne (i jest ich s = rz < min(p, q)), zatem można je reprezentować tymi samymi symbolami. Oznaczmy je wobec tego przez Pi, p₂ , .... p, i uporządkujmy, tak aby zachodziła nierówność:

p,£p₂2:...>p,

294