kolo bartol II 01 02 by kar

12 34

ANALIZA MATEMATYCZNA, 2001/2002, KOLOKWIUM II, 16 stycznia 2002

1.    (5+5 pkt) Oblicz granicę funkcji / w punkcie xo lub wykaż, że takiej granicy nie ma, gdy

(a)    f(x) = sjx - [ar] + x, x₀ = -1.

(b)    f(x) = lim_rwoc    x_a = 1.

2.    (10 pkt) Zbadaj, dla jakich wartości a, b jest ciągła funkcja /, gdy

f    gdy x < 0

f(x) — < ax + 1 gdy 0 < x < 1 {    i gdy 1 < x

3.    (10 pkt) Niech / będzie funkcją, ciągłą w R, której jedynymi punktami stałymi są a i b (a < b). Wykaż, że dla dowolnych x,y € (—oo,a) , (f(x) — x) - (f(y) — y) > 0.

4.    (10 pkt) Niech / : [ 0, oo ) —► R będzie funkcją ciągłą. Wykaż, że jeśli istnieje skończona granica lim^-,^ /(z), to / jest ograniczona na przedziale [ 0, oo ).

5.    (10 pkt) Oblicz lim^oo E_x(f), gdy f(x) = sin^a(A).