kolo bartol III 02 03 by kar

1 2

ANALIZA MATKMATYCZNA, 2002/2003, KOLOKWIUM III, 19 marca 2003

1.    Niech / bgdzie funkcją ciągłą w R, której jedynymi punktami stałymi są a i b [a < b). Wykaz, ze dla dowolnych x, y G (a, 6), (J(x) - x) - (f(y) - y) > 0.

2.    Oblicz pochodną, funkcji (») /U) = (ttt)'

( b) f (x) — . <: ares n i (x cos x)

3. Niech f(x) -- tg(:r eosf.r²)) sin (?- +ln(l + f)) dla -1 < z < 1. Zbadaj, czy funkcja / nu; pochodną w punkcie 0. ,Jeśli tak, oblicz /'(0), jeśli nie, wykaż, że funkcja / nie ma pochodnej w punkcie 0.

4.    Trójkąt równoramienny o obwodzie 4 obracamy wokół wysokości opuszczonej na podstawą trójkąta. Jaka powinna być długość podstawy, aby stożek, otrzymany w wyniku takiego obrotu, miał u aj wi ykszą. ob j ę rość ?

fu Określ liczbą pierwiastków równania (.t -4- 2)'^}-{x ~ 1)^J = 2a w zależności od a g R.