matma1

1

2. _a) y = 4-[e²* — e~* (cosj/3* + j/3 sini/^jc)]; 6

b)    = c* + cos x — 2;

c) y = 2,3 + e“* ^ —    cos 3x + ^ siu 3xj;

d)    y = ~ [e* — e^-2* (3x + 1)];

e) y = e* j cos x -f sin x

-ⁱ' + T^rt

2/

20.7. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE RZĘDU DRUGIEGO I WYŻSZYCH O WSPÓŁCZYNNIKACH STAŁYCH

Równanie postaci:

(7.1)    y*> 4-    4- cl_z y^<J1~? 4- ... + a„-i / 4- a_n y = /(x),

gdzie współczynniki a;_f~(fc =■ 1,.. .,rc) są stałe, rzeczywiste oraz f(x) jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale l, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym n-tego rzędu o współczynnikach stałych.

Jeżeli f(x) = 0, to równanie (7.1) przyjmuje postać:

(7.2)    y^M 4- a, y^0,~¹⁾ 4- a₂ 4- ... 4- a_n-\ y' 4- a_ny — 0.

Równanie (7.2) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym, odpowiadającym równaniu niejednorodnemu (7.1). Sposób rozwiązania równania niejednorodnego (7.1), w szczególności równania rzędu drugiego:

(7.1')    /' 4- a_Ly' + a₂y =/(*)

wynika z następującego twierdzenia:

Twierdzenie 1. Całka ogólna równania liniowego niejednorodnego (7.1) jest sumą dwu całek:

1° całki ogólnej równania jednorodnego (7.2) odpowiadającego równaniu (7.1) (por. 20.6),

2° całki szczególnej równania niejednorodnego (7.1).

Podamy teraz dwie metody znalezienia całki szczególnej równania niejednorodnego (7-1):    ^

Metoda pierwsza (przewidywań). Stosujemy tę metodę wtedy, gdy potrafimy przewidzieć postać całki szczególnej równania liniowego niejednorodnego (7.1). Przypadki, dla których możemy z łatwością odgadnąć postać całki szczególnej, zależą od prawej strony f(x) równania (7.1) i są następujące:

1° Jeżeli prawa strona f(x) równania (7.1) jest wielomianem n-tego stopnia P_n (x), czyli:

/(*) = bn x" 4- ba-i Xⁿ~¹ 4- .., 4- b_L x 4- b₀,

to całka szczególna y_x(x) równania niejednorodnego (7.1) jest postaci:

Q„(x), gdy równanie charakterystyczne dla równania jednorodnego (7.2) nie posiada pierwiastka równego zeru,

Q„ (x), gdy równanie charakterystyczne dla równania jednorodnego (7.2) posiada pierwiastek równy zeru o krotnos^rci k ^ 1,

gdzie: Q„ (x) oznacza wielomian n-go stopnia, którego współczynniki należy wyznaczyć. 2° Jeżeli prawa strona f{x) równania (7.1) jest postaci:

gdzie: P_n{x) jest wielomianem rc-tego stopnia (n ^ 0), to całka szczególna y_L(x) równania niejednorodnego (7.1) jest postaci:

yito =

Q^ax Q_n (x), gdy a nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego dla równania jednorodnego (7.2),

/e“2« W) gdy a jest pierwiastkiem o krotności k ^ 1 równania charakterystycznego dla równania jednorodnego (7.2),

idzie: Q„(x) oznacza wielomian n-go stopnia, którego współczynniki należy wyznaczyć. 3° Jeżeli prawa strona f(x) równania (7.1) jest postaci:

f(x) = a cos J3x -r b sin fix,

to całka szczególna y_L(x) równania niejednorodnego (7.1) jest postaci:

y iW’= {

a_x cos fix -f- b_L sin px, gdy liczba zespolona z — pi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego dla równania jednorodnego (7.2),

X* (a_L cos fix -f- b_L sin j3x), gdy liczba zespolona z — pi jest pierwiastkiem o krotności k 5= 1 równania charakterystycznego dla równania jednorodnego (7.2),

gdzie współczynniki a_x i b_L należy wyznaczyć.

4° Jeżeli prawa strona f{x) równania (7.1) jest postaci:

/(x) = e“ (a cos /?;c -f- b sin /?x),

to całka szczególna y_x(x) równania niejednorodnego (7.1) jest postaci:

( e^lw(a₁ cos px -{- b_L sin px), gdy liczba zespolona z — a Ą- pi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego dla równania jedncro-

= J , ^dne=° (⁷-²)’

^J 1 ^ '    1 x^k Q^ax (a_t cos px -r b_t sin px), gdy liczba zespolona z = a + P‘i jest pier

wiastkiem krotności k ^ 1 równania charakterystycznego dla (    równania jednorodnego (7.2),

gdzie współczynniki a_L i b_x należy wyznaczyć.

5° Jeżeli prawa strona f(x) równania (7.1) jest postaci:

/ (x) == a e**,