matma1

i

2. a) v = ■— [e²* — e~* (cos y^r3x + l/"3 sin j/3:c)]; o

b)    y — c* -f cos x — 2;

c)    y = 2,3 4- e-*    cos 3x + sin 3.vj;

d)    y =    [e* — e”²* (3x + 1)];

⁺ T^e"

e) y = e* (cos x -f siu x ■

20.7. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE RZĘDU DRUGIEGO I WYŻSZYCH O WSPÓŁCZYNNIKACH STAŁYCH

Równanie postaci:

(7.1)    -f- a_L y^(jl~^l) + a_z y^(jl~^ 4- ... + a_n-1 / 4- a_n y = f(x),

gdzie współczynniki a^{k =■!,.. .,n) są stałe, rzeczywiste oraz f(x) jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale l, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym n-tego rzędu o współczynnikach stałych.

Jeżeli f(x) = 0, to równanie (7.1) przyjmuje postać:

(7.2)    y⁽ⁿ⁾ + a_L y<*-*> + a₂ y⁽"-²⁾ 4- ... 4- a_n-\ y' 4- a_n y — 0.

Równanie (7.2) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym, odpowiadającym równaniu niejednorodnemu (7.1). Sposób rozwiązania równania niejednorodnego (7.1), w szczególności równania rzędu drugiego:

(7.1')    y" 4- 04/ + a₂y =/(*)

wynika z następującego twierdzenia:

Twierdzenie 1. Całka ogólna równania liniowego niejednorodnego (7.1) jest sumą dwu całek:

1° całki ogólnej równania jednorodnego (7.2) odpowiadającego równaniu (7.1) (por. 20.6),

2° całki szczególnej równania niejednorodnego (7.1).

Podamy teraz dwie metody znalezienia całki szczególnej równania niejednorodnego (7-1): _<

Metoda pierwsza (przewidywań). Stosujemy tę metodę wtedy, gdy potrafimy przewidzieć postać całki szczególnej równania liniowego niejednorodnego (7.1). Przypadki, dla których możemy z łatwością odgadnąć postać całki szczególnej, zależą od prawej strony f(x) równania (7.1) i są następujące: ^r“ 1° Jeżeli prawa strona f(x) równania (7.1) jest wielomianem n-tego stopniaP_n (*), czyli:

f(x) = b_nxf‘ 4-    1 xⁿ~¹ 4- •.. 4* b_L x 4- b₀,

to całka szczególna y_x{x) równania niejednorodnego (7.1) jest postaci:

yi(x) =

Q„ (x), gdy równanie charakterystyczne dla równania jednorodnego (7.2) nie posiada pierwiastka równego zeru,

Q„ (x), gdy równanie charakterystyczne dla równania jednorodnego (7.2) posiada pierwiastek równy zeru o krotności k ^ 1,

gdzie: Q_;1 (x) oznacza wielomian n-go stopnia, którego współczynniki należy wyznaczyć. 2° Jeżeli prawa strona f(x) równania (7.1) jest postaci:

gdzie: P„ (x) jest wielomianem n-tego stopnia (n ^ 0), to całka szczególna y_L(x) równania niejednorodnego (7.1) jest postaci:

e^w Q_n(x), gdy a nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego dla równania jednorodnego (7.2),

x^k&^veQ_n(x), gdy a jest pierwiastkiem o krotności k ^ 1 równania charakterystycznego dla równania jednorodnego (7.2),

gdzie: Q„(x) oznacza wielomian n-go stopnia, którego współczynniki należy wyznaczyć. 3° Jeżeli prawa strona f(x) równania (7.1) jest postaci:

f(x) = a cos px + b sin fix,

to całka szczególna y_L(x) równania niejednorodnego (7.1) jest postaci:

( a, cos fix -f- b_L sin px, gdy liczba zespolona z — pi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego dla równania jednoro-|    dnego (7.2),

i

di w \ x^k(a_l cos ,6x -f b_L sin/dc), gdy liczba zespolona z = pi jest pierwiastkiem o krotności k ^ 1 równania charakterystycznego dla równania jednorodnego (7.2),

gdzie współczynniki a_v i b_L należy wyznaczyć.

4° Jeżeli prawa strona f(x) równania (7.1) jest postaci:

f(x) — e^ (a cos Px -f b sin px)_r

to całka szczególna y_A(x) równania niejednorodnego (7.1) jest postaci:

( e™ (a_x cos Px^Jrb_L sin px), gdy liczba zespolona z = a -f pi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego dla równania jedncro-_{(x) =} j ₍    dnego (7.2),

'¹ ^ '    | x^k Q^ax (acos Px -i- sin px), gdy liczba zespolona z = a -}- pi jest pier

I

wiastkiem krotności k 1 równania charakterystycznego dia równania jednorodnego (7.2),

gdzie współczynniki a_L i b_x należy wyznaczyć.

5° Jeżeli prawa strona f(x) równania (7.1) jest postaci:

/(*) = a e^Łt,