0456

458

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

lecz także całki

j P (x) e“* cos bxdx, J P (*) e“^x sin bx dx

[271,4); 289],

5) Związek między funkcją logarytmiczną i funkcjami cyklometrycznymi łączy wiele wzorów rachunku całkowego, które wydają się całkiem różne, a także pozwala wyprowadzić nowe wzory. Na przykład całki:

C dx    1 x—a _:    f dx 1___x

x^I+er

i— — = -—In—i    ___- = _arctg-

J x ²—cr    2a    Jt+«    J

lub

i

f ^dx - = ln (x+ ^a² + x²) ^J |/a¹+x¹

s

dx

j/a² —j

= arcsin —

można sprowadzić jedną do drugiej przez zamianę x na xi.

6) Oddzielając części rzeczywiste i urojone w znanych rozwinięciach zespolonych możemy czasem łatwo otrzymać rozwinięcia w dziedzinie rzeczywistej.

(a) Weźmy dla |z|<l postęp

»-* £

i podstawmy z = r (cos 6+i sin 0). Po prawej stronie otrzymujemy szereg

CO

y r"(cos nd+i sin nfl) ,

r (cos 8+i sin 6)    _ r cos 6—r²    ^

a po lewej

r sin $

(1— rcos0) — irsinO    1—2rcosfl + r²    1 — 2rcos0+r²

Porównując części rzeczywiste i urojone po obu stronach równości (i skracając przez r) otrzymujemy rozwinięcia:

cos0—r

1 — 2rcos 0+r²

= y r"~^l cos nO,

1 —2rcos 6+r

— = y r^,~^t sin nO

[porównaj 440,11)].

(b) Postępując analogicznie z szeregiem logarytmicznym

oo

ln(l-z)=-^jT—    (i:|<l),

n-1

otrzymujemy dla r< 1 [porównaj 440,11)]

— ln(l— 2r cos 0 + r²) = — r* ^cos , 2    z—i n

sin nO

1—rcosfl    i—i