e**sin /3c, xe‘* sin/*,..., xk~leOK sin
e‘* cosP<, xe‘M cos/3i.....xk~le‘* cos/3<
są rozwiązaniami RJ odpowiadającymi pierwiastkom r\ i r2.
Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania
y'4t + 3y' + 5y +5y+ 2y = 3x + sinx RN. Tworzymy równanie jednorodne odpowiadające zadanemu RN
y'4’+3y +5y +5y + 2y = 0 i rozwiązujemy równanie charakterystyczne r4 + 3r3 + 5r2 + 5r + 2 = 0 (r + l)2(r2 +r + 2) =0
A = 1-8=-7 = 7/2 -1 ±yp7i
RJ
Otrzymujemy trzy różne pierwiastki, jeden rzeczywisty o krotności 2, a pozostałe dwa sprzężone, każdy o krotności 1:
r, = -i fc, = 2
1 J7
rj=_2 T
1 ■f’ Ir
2~‘—
xe
fi
sin-—x 2
COS-—X 2
a ich kombinacja liniowa stworzy całkę ogólną RJ
y(x)
+ C3e
. V7 Ą, yfi
sin-— x + C.e 2 cos-—x 2 4 2
CORJ.
Aby uzyskać rozwiązanie RN, równanie to rozbijamy na dwa równania: RNi, RN2 ; i zastosujemy metodę przewidywań do każdego z nich.
RN, y ■41 + 3y + 5y + 5y + 2y = 3x
y, = Ax + B
y "t ~ y ~i ~ j'141 = ®
i wstawiając do RN i otrzymujemy A czyli
Podobnie RN 2
3 15
y,=2*-7
B =
15
4
CSRN,.
y +3y +5y +5y + 2y = sinx y2 = Asinx + Bcosx y2 = Aco$x- Bsinx y2 = -Asinx- Bcosx y2 = -Acosx +Bsinx y2 = Asinx + Bcosx
Asinx + Bcosx + 3Acosx —3Bsinx — 5Asinx — 5Bcosx — 5A cosx + 5Bsinx +2 Asinx + + 2Bcosx =sinx