e**sin /3c, xe‘* sin/*,..., x^k~^le^OK sin

e‘* cosP<, xe‘^M cos/3i.....x^k~^le‘* cos/3<

są rozwiązaniami RJ odpowiadającymi pierwiastkom r\ i r₂.

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania

y'^4t + 3y' + 5y +5y+ 2y = 3x + sinx RN. Tworzymy równanie jednorodne odpowiadające zadanemu RN

y'⁴’+3y +5y +5y + 2y = 0 i rozwiązujemy równanie charakterystyczne r⁴ + 3r³ + 5r² + 5r + 2 = 0 (r + l)²(r² +r + 2) =0

A = 1-8=-7 = 7/² -1 ±yp7i

RJ

Otrzymujemy trzy różne pierwiastki, jeden rzeczywisty o krotności 2, a pozostałe dwa sprzężone, każdy o krotności 1:

r, = -i fc, = 2

1 J7

^rj=_2 T

¹    ■f’ Ir

2~‘—

Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje

-i. . fi

xe

fi

sin-—x 2

COS-—X 2

a ich kombinacja liniowa stworzy całkę ogólną RJ

y(x)

+ C₃e

. V7 Ą, yfi

sin-— x + C.e ² cos-—x 2 ⁴ 2

CORJ.

Aby uzyskać rozwiązanie RN, równanie to rozbijamy na dwa równania: RNi, RN₂ ; i zastosujemy metodę przewidywań do każdego z nich.

RN,    y ■⁴¹ + 3y + 5y + 5y + 2y = 3x

y, = Ax + B

y; = A

y "t ~ y ~i ~ j'1^{41 =} ®

i wstawiając do RN i otrzymujemy A czyli

Podobnie RN ₂

3    15

y,=2*-7

B =

15

4

CSRN,.

y +3y +5y +5y + 2y = sinx y₂ = Asinx + Bcosx y₂ = Aco$x- Bsinx y₂ = -Asinx- Bcosx y₂ = -Acosx +Bsinx y₂ = Asinx + Bcosx

Asinx + Bcosx + 3Acosx —3Bsinx — 5Asinx — 5Bcosx — 5A cosx + 5Bsinx +2 Asinx + + 2Bcosx =sinx