82301

+ (^B_mx^m + B_m-\x^m 1 -ł-... + B\x + Bo) sin /?x]

przy czym m = inax(A\/), a Aq,A\.....A„,,Bq,Bi.....B_m są odpowiednio dobra

nymi współczynnikami rzeczyuństymi.

Jeżeli a = a + i 0 nie jest. picruńastkicm wielomianu charakterystycznego, to w powyższym wzorze przyjmujemy s=0.

Przykład 7.15

Wyznaczyć postacie rozwiązań podanych równań różniczkowych:

a)y”-y' = e^x b)y”-y=x c) y⁽⁴⁾ + y" = sin x d) y⁽⁴⁾ + y” = 2x² + x + 1

2. Metoda uzniienniania stałych

Twierdzenie 7.12

Jeżeli (yi.y2.....Pn) jest fundamentalnym układem wzwiązań równania liniowego

jednorodnego (LS_n) oraz ciąg funkcji C\.C₂.... ,C_n jest dowolnym rozwiązaniem układu róumań:

s/i(*) y-M y\ (x) y2(x)	yn(x) y'n(x)		‘ C\(x) ' C'2{x)		0 0
. y^{r^l\x) y^(2~^x\x) .	■ yn^n~^l)(x) .		. <*<*> .		y(x)

to funkcja

<t>{x) = Ci(x)yi(x) + Ci{x)y2{x) + ... + C_n(x)y„(x) jest rozwiązaniem równania (LN_n)•

Uwaga 7.6

Powyższy układ równań z nicuńadomymi CJ(x)......C'_n(x) ma jednoznacz

ne rozwiązanie, gdyż jego wyznacznik jest wrońskianein fundamentalnego układu rozwiązań równania (LJ„). więc jest różny od zera.

Przykład 7.16 Znaleźć rozwiązania zagadnień początkowych:

a) y” - 2j/ + y = e* arctgx , y(0) = 1. y'(0) = 0 b) y” + 3y' + 2y =    y(0) = 1 i/(0) = 0

56