Mechanika ogolna0020

40

Są to różniczkowe równania ruchu środka masy układu, czyli dynamiczne równania ruchu środka masy układu.

2.5. Wektor popędu (impulsu) sił

Weźmy pod uwagę układ materialny złożony z n punktów materialnych o masach m,, m₂... m₃.

Ruch środka masy układu opisuje równanie (84):

n    n

^m’^SS =Z^mi    ⁼Z^Pi    ■

i=l    i=l

Jeżeli potraktujemy przyspieszenie jako pierwszą pochodną wektora prędkości, tzn.:

a

s

dv_s

dt ’

dYj dt

równanie (84) przyjmie następującą postać:

dv,

dv_;

_m=^.₌y_mi^L₌yp_i. dt tr dt &

Po pomnożeniu przez dt będzie:

ⁿ    dv ⁿ —

^m■ dv_s = £m_; • dv_;-j- = £P; • dt

i=l    i=l

(86)

gdzie: m • dv_s - elementarny wektor pędu środka masy,

m_f • dv_; - elementarny wektor pędu punktu materialnego,

P; • dt - elementarny wektor popędu (impulsu) wszystkich sił zewnętrznych.

(X7)

Scałkujemy teraz obustronnie równanie (86), czyli: f m ■ ] dv„ -    ■} dVj = J■ dl

0 II    I-I 0    II i-o

I po scałkowaniu dostajemy:

m-{v_s‘-vf)=Q^t-Q⁽⁰⁾ =Ś,

yd/ic: m • vś = Qs - wektor pędu środka masy w czasie t [s],

m •    = Qg⁰⁾ - wektor pędu środka masy w czasie t₀ [s],

_ 1

S = I 2jPj - dt - tzw. wektor popędu (impulsu) wszystkich sił zewnętrz-

0 i=l

nych układu.

Hównanie (87) po uwzględnieniu powyższego możemy napisać w postaci:

O'-Q(°) =Q'-Q(°> =S    (88)

W lównaniu (88) mamy:

- Q^⁰⁾ - przyrost wektora pędu środka masy układu,

O¹ -q<°> - przyrost wektora pędu układu punktów materialnych,

S wektor popędu sił zewnętrznych.

Hówimnic (88) rzutujemy na osie przyjętego układu odniesienia i dostajemy:

m x<'> -m-x<⁰⁾ = Q_x^l) -Q⁽x⁰⁾ = S_X = ||>_ix -dt

0 i=l

(89)

inyf-m-yf = Q⁽y° - Q_y⁰⁾ = S_y = {£p_iy • dt

0 i=l

o i=l

m -m-ż^ = Q_Z^Ł) -Q⁽z⁰⁾ = S_Z = jj^P* -dt

Hówimnm (89) określają zmianę w czasie pędu układu punktów materialnych na ml|iitwu'dium kierunku. Jednostką impulsu w układzie SI jest [N-s], Jeżeli zda-i#yl«»l»y się tak, żc impuls sił zewnętrznych wynosiłby:

o.

o i->