skanuj0007

42

2.5. Metoda klasyczna

Jak już wspomniano w rozdziale 2.1, przedmiotem rozważań są stany ustalone w obwodach liniowych, czyli opisanych liniowymi równaniami różniczkowymi zwyczajnymi. Przy wymuszeniu sinusoidalnym składowa ustalona odpowiedzi ma też przebieg sinusoidalny o tej samej pulsacji co wymuszenie, ogólnie przesunięty w fazie względem wymuszenia. Podstawą metody klasycznej jest więc przewidywanie sinusoidalnego kształtu odpowiedzi. Rozwiązanie polega na wyznaczeniu współczynników opisujących to przewidywane rozwiązanie, czyli na określeniu amplitudy i fazy początkowej odpowiedzi.

2.5.1. Obwód szeregowy RLC o wymuszeniu napięciowym

_{Ur    u},    W obwodzie szeregowym RLC (rys.

2.9) dane jest sinusoidalne wymuszenie napięciowe:

u = |iy_m|sin(G)ć+i|0 , i|r_u - iji .    (2.56)

Przewiduje się, że w stanie ustalonym odpowiedzi (/, u_R, u_L, u_c) są też sinusoidalne, a więc że rozwiązaniem równania (2.3) jest przebieg

(2.57)

(2.58)

i = lę|sin(«r + Q') , i|f_; = a,

przy czym 17 [ (a raczej |/| = LL) ₀raz a należy wyznaczyć.

fi

II prawo Kirchhoffa dla rozważanego obwodu ma postać

Ur ⁺ U_l+^uc = U .

Wyrażając napięcia u_Ri u_Lt u_c przez prąd i otrzymuje się wygodniejszą postać niż równanie (2.3), czyli

Ri+L — + fi[idl =u dt CJ

(2.59)

' dt CJ

Równanie (2.59) musi być spełnione przez przewidywane rozwiązanie, więc aby wyznaczyć współczynniki |/_;n| oraz a określające to rozwiązanie, należy podstawić wzory (2.57) i (2.56) do równania (2.59).

^ I sin(u)/ + a;) i- U)L\I_m [cos(co£ + o:) - —~\d_m | cos(w£ + a') = \U_m | sin(to£ + i|/) ,

coC

a stąd

1/

i?sin(w^ + a) ⁺ j (jcos(a)t + a;)

CO C-

Stosując do wzoru (2.60) wzór (1.21) otrzymuje się \    ( G)C i

|U_m|sm(wr + iłi)

(2.60)

— ) j/JsinfcoZ + a + tp,) - |£/Jsrn(a>/+ip)

(2.61)

gdzie

coL-

<P/ = arc tg -

1

o)C

jR

-90' < (p_; < 90° .

(2.62)

Kąt przesunięcia wynikający z zastosowania wzoru (1.21) oznaczono na razie symbolem (p_;, ale w układach typu szeregowego (por. wzór (2.69)) jest to wprost kąt przesunięcia fazowego między prądem i a napięciem u i można go od razu oznaczać przez ip.

Równanie (2.61) musi być spełnione dla dowolnego czasu f, musi więc zachodzić równość amplitud i argumentów lewej i prawej strony tego równania.

\

a+ (p; = l|l

a stąd szukane wartości | I_m | oraz a wynoszą

i UJ

l/J =■

\

coL -

a = i); - tp,- = ip - arc tg -

G)C

(2.63)

(2.64)

(2.65)

(2.66)

Wyrażenie pierwiastkowe w mianowniku wzoru (2.65) jest to moduł impedancji obwodu szeregowego RLC

|Z]

(2.67)