skanuj0042 (4)

236    VL Funkcje #i&lu miernych

ZADANIA VL3

3.1. Wyznaczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu, a następnie obliczyć ich wartości przy argumentach (-1; 3), (0; -2), (2; 1), gdy:

1

a)f(x,y) = 3x²*x^y + 6, b) g(*,y) = -c) h(x,y) = x-e^x.

(y 01)

3.2. Wyznaczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu następujących funkcji:

3

a) f(x,y) = 6*⁵y³ + *y ² ;    b) giu, v) =    ;

v -1

c) h(y,z) = e^y2';

d) k(s, t) = ln(s² -1²) i

e) l(x,y) = (x² +_yy;

.    .    sin (2jc)

g) f(x,y) = —;

cos(y)

f) m(v,w) = v²we~^v; h) g(p,q) = tg(2x² -y).

3.3. Pokazać, że dla funkcji:

a)    z(x,y) = ln(e^x + e^y) zachodzi równość z"_x • z^_y = (z"_y)²,

b)    w(x,y) = e^x(ź-cos(y) + y-sin(y) zachodzi równość w“_x + w"_y = 0.

3.4.    Ustalić tempo zmian wartości funkcji f(x, y) = ^x ^ w otoczeniu punktu

x + y

(2; 4), wywołane wyłącznie: a) zmiennością x, b) zmiennością y.

3.5.    Określić tempo zmian wartości funkcji f(x,y) = x²ln(y) w otoczeniu punktu (4; 1,50), odrębnie ze względu na x i na y.

3.6. Określić tempo zmian funkcji Cobba-Douglasa f(K, L) = c-K^pK^{l p}, gdzie c>0i 0 < p < 1, ze względu na każdą zmienną dla dowolnej pary (K,L)€ R². = {(5T, L): JT > 0 a £ > 0}.

3.7. W jakim przedziale funkcja f(x, y) = xe?^y rośnie coraz wolniej ze względu na x przy ustalonym y, a w jakim - ze względu na y przy ustalonym x ?