Skrypt&

I. Podstawowe definicje.

Po tym dość długim bardzo intuicyjnym wstępie czas wrócić do matematyki.

Definicja 3.1 Niech x » y = /(x) będzie funkcją zmiennej rzeczywistej x określoną w otoczeniu U_Xn punktu x,_}. Pierwszą pochodną (lub w skrócie pochodną) funkcji f u- punkcie x₀ nazywamy

granicę

lim

~^h) -/(*■>)

otrtymujemy

ilorazu różnicowego funkcji fw punkcie x,. Oznaczamy ją symbolem f (x,.) lub

Zastępując granicę w Definicji 3.1 granicą prawostronną (lub lewostronną! definicję pochodnej prawostronnej (lub lewostronnej) funkcji / w punkcie x₅. Definicja 3.2 Granicę prawostronną

_ljm ,/fi)-/(-O . _)im ffzltjf)

X-X_D    :H‘i'    }7

nazyzwamy pochodną prawostronną funkcji f w punkcie x_c. Oznaczamy ją symbolem

/’(v)^iub j~(^x~y

/(x)-/(n.)    /(x, + /?)- / (x₀)

lim ——— --— ~    '--‘--

Definicja 3.3 Granicę lewostronną

lim

x - x

nazywamy pochodną lewostronną funkcji f w punkcie x,,. Oznaczamy ją symbolem /_(x₀) ,

/'(Vj ^lu'b

Na początek zauważmy, że pochodna funkcji w punkcie jest liczbą. Jest to banalna obserwacja, ale nie uświadomienie sobie tego .faktu spowoduje spore zamieszanie, gdy pojawi się pojęcie różniczki - bardzo biisko związane z pochodną.

W definicji pochodnej podane są dwie granice. Różnią się one jedynie zapisem. W zależności od funkcji w obliczeniach będziemy się posługiwali bądź jedną, bądź drugą.

Oczywiście, jak już wiemy, z granicami jak to z granicami - różnie bywa - raz istnieją, a raz nie i nie ma na to rady. Tak więc można się spodziewać, że nie wszystkie funkcje będą miały pochodną i tak jest w rzeczywistości. Przyjrzyjmy się przykładom:

Zadanie 3.1

/(3)

Nieci

/(x) - (x -i- 3)". Obliczmy pochodną f (3).

,. /(x)-/(3) .. (x - 3/ - 36 x² lim---— -= Jim™---= hm—

6x - 27    , (x - 3)(x + 9)

------ hm.---

11

x — J

X— J

Zadanie 3.2 Rozważmy funkcję x > g(x) = sinx i pewien ustalony, ale bliżej nie sprecyzowany punkt x₀ s tR .