stany nieustalone str05

stopień licznika I jest mniejszy od stopnia mianownika n.

Pierwiastki licznika, tzn. pierwiastki równania L(s) = 0 nazywamy zerami funkcji operatorowej F(s), a pierwiastki mianownika, tzn. pierwiastki równania N(s) = 0 nazywamy biegunami funkcji operatorowej F(s).

Funkcja operatorowa F(s) może mieć bieguny proste, czyli jednokrotne, lub bieguny wielokrotne. W dalszej części tekstu wykażemy, że w obwodach liniowych pasywnych, bieguny funkcji operatorowej przedstawiającej transformaty napięć lub prądów leżą zawsze w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej lub na osi urojonej. Przy spełnieniu podanych warunków dla funkcji operatorowej, równanie (45) może być przedstawione w postaci

(57)

Oryginał funkcji operatorowej jest zatem równy sumie residuów funkcji podcałkowej równania (45) we wszystkich biegunach Sk funkcji F (s). W przypadku biegunów jednokrotnych

r£s[F(s)e^s<]= Hm [(s -

s=s_k ^L    s->s_k

*k

)F(_sy\

(58)

W przypadku biegunów wielokrotnych założymy, że w ogólnym przypadku biegun si powtarza się mi razy, biegun S2 powtarza się m2 razy, biegun Sk powtarza się m_k razy itd.

Residuum funkcji F(s)e^st w nik-krotnym biegunie s funkcji F(s) obliczamy ze wzoru

\m.

1

—,— lim

\)! ^s~*s_k

(59)

Oczyw iście przy m_k = 1 wzór (59) uzyska postać (58).

Wzór    podstawowy    Heaviside’a,    wyrażający    tezę    twierdzenia

o rozkładzie, jest stosowany, gdy funkcja operatorowa F(s) ma bieguny jednokrotne. Funkcję tę można wtedy rozłożyć na ułamki proste

s-s,

s-s.

s-s,

(60)

przy czym n - stopień wielomianu N (s), a zarazem liczba biegunów funkcji F(s).

Współczynniki A|, A2, ...Ak, ...A_n można obliczyć ze wzoru na residuum funkcji F (s), a mianowicie

40

*40

(61) przy

A_k = raf(s)= lim [(s-s*)f(s)]

s=s_k    5—

czym

2007-01-10

5

TO/ES