str022

50

72.    Wskazówka: korzystamy z zadania 67 oraz 69. Następnie przeprowadzamy rozumowanie podobne jak w rozwiązaniu zadania 55c.

73.    Niech X = E, niech V będzie rodziną złożoną z jednopunktowych podzbiorów ® ^oraz wszystkich przedziałów otwartych i zbioru 0.

Połóżmy

	f^1-	gdy .4 jest zbiorem jednopunktowym
r(A) =	0.	gdy .4 = 0,
	1	gdy .4 jest zbiorem nieskończonym.
Stosując metodę opisaną w zadaniu 67, otrzymujemy miarę zewnętrzną
PÓM) = {	card(-4), . oo,.	gdy ,4 jest zbiorem skończonym, gdy .4 jest zbiorem nieskończonym.

Łatwo sprawdzić, że n'₀ jest miarą określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów E. Dowolny podzbiór prostej jest więc zbiorem mierzalnym. Niech .A będzie niebo-relowskim podzbiorem prostej (tzn. .4 £ B) (zbiór taki istnieje — patrz zadanie 166) i załóżmy, że jest spełniona teza z zadania 72. Zatem A = E U F, gdzie E 6 B i E C D, D € B i no(D) = 0. Stąd otrzymujemy sprzeczność, A = E S B.

74.    Wystarczy rozważyć następujący przykład. Niech X - E². Niech V będzie rodziną wszystkich otwartych podzbiorów E². Dla dowolnego G € V połóżmy t(G) = d(G), gdzie d oznacza średnicę zbioru. Niech .4 = {(x, y) : 1 < x² + ]/² < 4}. Wówczas #r*(.4) ^ ^ó(^).

75.    Wykażemy, że /ij jest metryczna. Wystarczy sprawdzić, że zachodzi warunek (*) z zadania 70. Utwórzmy podział odcinka («,&) punktami x,- postaci a = x₀ < zi < ... < x_m = ł>, przy czym Xj - x,_i < i dla i = 1,2,;.. ,m. Niech będzie dane e > 0. Niech x, będą punktami spełniającymi nierówności

*'i “ *•—i <    - /(*i-i) < /(*i) - /(*.-1) + Wówczas

m    m

^r{(x_i_₁,r;)} < £(/(^xi) - f(xi._x)) + s

i=i    (=i

= /(6) - /(a) + e = r{(a,6)} + «.

Wykazaliśmy, że jest spełniony warunek (*) z zadania 70, a więc na podstawie zadania 70 miara zewnętrzna /ij jest metryczna.

Na podstawie rozwiązania zadania 70 oraz zadania 69 otrzymujemy, że jest regularna.

76. Miara zewnętrzna jest metryczna (patrz zadanie 75), więc wszystkie przedziały są mierzalne (patrz zadanie 64). Załóżmy, że ciąg przedziałów {(a,-, 6«)}>6N spełnia warunek (a, 6] C Uf^i(^a*• *«)•

Z założenia, że / jest prawostronnie ciągłą funkcją wynika, że dla dowolnego £ > 0 istnieje 8 > 0 taka, że a + 8 < b i /(a + 5) < /(o) + e.

Na podstawie twierdzenia Heine-Borela można z przeliczalnego pokrycia zbioru [o + fi, fi) wybrać pokrycie skończone (a.,.6,,).....(o_lm,fi_iJ. Przez ewentualną

zmianę numeracji przedziałów można uzyskać, że

a,,<a + <i, bi_m > 6 i a_it+l < b_ik.

Dla dowolnego przeliczalnego pokrycia przedziałami otwartymi przedziału (a,6] i dla dowolnego s > 0 zachodzą nierówności

o®    OO    m

E > E ^r(°u, h j = Ew->) - /(*. )i

n=l    tal    tal

= lf(b_im) - /(«,,)] + EW) - /(c,_ł+l)]

tal

> /W ~ f(a + 6)> f{b) - /(a) - c.

Skąd wynika, że

(1)    fij {(a, 6]} >/(6)- /(a).

Z prawostronnej ciągłości funkcji / wynika, że dla dowolnego s > 0 istnieje S > 0 takie, że

(a, 6] C (a,b+ 6) i

/

r{(«, i + «)} = /(6 + fi) - /(a) < /(fi) - /(a) + j.

Zatem /'/{(o,6]} < /(b) - /('«) + £. Z dowolności liczby £ otrzymujemy, że

(2)		• < /(*) -	/(a).
Z (1) i (2) otrzymujemy, że M/{(“.&]}		= /(*) - f{a).
77. Korzystamy z	równości (-1,0)	= U“,(	- 1, -i). Wtedy
M(-i.	^0)} = ^(^{		•O)
			} = 0 < /(O) — /(—1)
78. Niech
t	f -^1-	dla	r < 0,
	/(*) = o,	dla	0 < * < 1,
	11.	dla	£ > 1.
Wówczas p/{(0,1)}	= 0,/t;{(0,ll} =	i.Mlo,	I)} = 2.