str022

50

72.    Wskazówka: korzystamy z zadania 67 oraz 69. Następnie przeprowadzamy rozumowanie podobne jak w rozwieraniu zadania 55c.

73.    Niech X = R, niech V będzie rodziną złożoną z jeduopunktowych podzbiorów ® oraz wszystkich przedziałów otwartych i zbioru 0.

Połóżmy

r(.4) =

gdy .4 jest zbiorem jednopunktowym gdy .4 = 0,

gdy .4 jest zbiorem nieskończonym.

Stosując metodę opisaną w zadaniu 67, otrzymujemy miarę zewnętrzną

.,,v    / card(.4),

^ o(-4) = i

l oo,.

gdy ,4 jest zbiorem skończonym, gdy ,4 jest zbiorem nieskończonym.

Łatwo sprawdzić, że /jJ jest miarą określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów X. Dowolny podzbiór prostej jest więc zbiorem mierzalnym. Niech A będzie niebo-relowskim podzbiorem prostej (tzn. .4 £ B) (zbiór taki istnieje — patrz zadanie 166) i załóżmy, że jest spełniona teza z zadania 72. Zatem A = E U F, gdzie E £ B i F C D, D £ B i na(D) = 0. Stąd otrzymujemy sprzeczność, A = E £ B.

74.    Wystarczy rozważyć następujący przykład. Niech X = X³. Niech V będzie rodziną wszystkich otwartych podzbiorów R³. Dla dowolnego G £ "P połóżmy r(G) = d(G), gdzie d oznacza średnicę zbioru. Niech .4 = {(x,y): 1 < ar-f y³ < 4}. Wówczas n‘{A) jb ^5(/ł).

75.    Wykażemy, że jest metryczna. Wystarczy sprawdzić, że zachodzi wa

runek (*) z zadania 70. Utwórzmy podział odcinka (a, 6) punktami Zj postaci a = x₀ <    < ... < x_m = b, przy czym X{ - Xj_i < jj dla i = 1,2,... ,m.

Niech będzie dane f > 0. Niech z, będą punktami spełniającymi nierówności z,- < x\, x\ - z₍__t < Ł, /(*{) -    < /(z_f) -    4- Wówczas

5Zr{(i,_x,zJ-)} < 52(/(*i) — /(*<-i)) + s

i=l    <=I

= /(&)-/(«)+* = r{(a,6)} + 5.

Wykazaliśmy, że jest spełniony warunek (*) z zadania 70, a więc na podstawie zadania 70 miara zewnętrzna /i} jest metryczna.

Na podstawie rozwiązania zadania 70 oraz zadania 69 otrzymujemy, że /jj jest regularna.

76. Miara zewnętrzna fi] jest metryczna (patrz zadanie 75), więc wszystkie przedziały są mierzalne (patrz zadanie 64). Załóżmy, że ciąg przedziałów {(a/, fr,)}ien spełnia warunek (a,6]c

Z założenia, że / jest prawostronnie ciągłą funkcją wynika, że dla dowolnego t > 0 istnieje 6 > 0 taka, że a + 6 < b i f(a + 6) < /(o) + e.

Na podstawie twierdzenia Heine-Borela można z przeliczalnego pokrycia zbioru [a + S, 6] wybrać pokrycie skończone (a,-, ,b i,),... , (a» „, b_im). Przez ewentualną zmianę numeracji przedziałów można uzyskać, że

a.', <a + 6, b_im>b i a_it+i<b_ik.

Dla dowolnego przeliczalnego pokrycia przedziałami otwartymi przedziału (a, 6] i dla dowolnego s > 0 zachodzą nierówności

E    > E rfa.h J = Elf (U ~ fM

n=l

kssi

i = L

m-1 1 = 1

> f(b) - f(a + 6) > f(b) - f(a) - t.

Skąd wynika, że

(1)

Z prawostronnej ciągłości funkcji / wynika, że dla dowolnego s > 0 istnieje 6 > 0 takie, że

(a, 6] C (a,b + S)

/

r{(a, 6 + 6)) = /(6 + «) - /(a) < f{b) - /(a) + s.

Zatem /'/{(o,6]} < /(b) — /(a) + e. Z dowolności liczby e otrzymujemy, że <²)    Hj{{a,b}} < f(b) - f(a).

Z (1) i (2) otrzymujemy, że /z/ {(a, 6]} = f(b) — f(a).

77.    Korzystamy z równości (-1,0) = U“_=l ( - 1, -£). Wtedy

^{(-l_f0)) = _W(Um {(-!.—)})

= Bm _w{(- 1. -i)} = 0 < /(O) - /(-«.

78.    Niech

-1,    dla    x < 0,

f(x) = <    0,    dla    0 <    x    <    1,

1,    dla    x >    1.

Wówczas *,{(0,1)} ₌ o, _M/{(0.11) = 1.    = 2.