Układy równań liniowych4

Układy równań liniowych

98

	"1-21 2 0 113 0 0-8 -22	-1 ' 0 4		ri -2 i 2 0,1 1 3 0 0 -8 -22	-1' 0 4
			“•V"^3
	0 0-8 -22	3		0 0 0 0	-1

Stąd

rz j4 = 3 < 4 = rz [2l|B].

Więc rozważany układ równań nie ma rozwiązań.

• Przykład 4.10

Wskazać wszystkie możliwe zbiory niewiadomych, które mogą być parametrami określającymi rozwiązania układu równań liniowych:

( x    +    3y    +    5z    +    7s +    2t    =    6

< — x    +    Ay    -f    2z    +    7s +    3t    =    1    .

I 2a:    +    y    +    5z    +    4s+    t    =    3

Rozwiązanie

Skorzystamy z faktu mówiącego, że jeżeli układ równań liniowych z n niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań, a jego macierz A ma. rząd równy r, to dowolny niezerowy minor macierzy A stopnia r wskazuje nam r zmiennych, które można wyrazić za pomocą n — r pozostałych zmiennych, czyli parametrów. Przeprowadzimy najpierw wstępną analizę macierzy rozszerzonej [A\B] układu pozwalającą na ustalenie rzędów oraz wyszukanie odpowiednich minorów. Mamy

' 13572 -1 4 2 7 3 2 15 4 1

'1    3    5    7    2

0    7    7    14    5

.0 -5 -5 -10 -3

'1 3 5 7 2    6'

0 112- 1 7

0 0 0 0 - -4 L    7-1

Stąd wynika, że rzA -    3 = rz [MI /?] = r < n = 5. Wyznaczymy teraz wszystkie

niezerowe minory stopnia 3 z przekształconej macierzy A. Spośród wszystkich = 10

minorów stopnia 3 niezerowe są tylko minory zawierające piątą, kolumnę. Jest ich 6, mianowicie

1 3 2 »*?		1 5 2 ^01 I	1	1 7 2		3 5 2 ^1 1 I		3 7 2 >^2f	•	5 7 2 ^1 2 I
O o “nj 1 '		O 0 1		Tf |t"-O O		^ ll> O O		O o “sil		c o “n! 1

Przyjmując kolejno każdy z tych minorów jako podstawę rozwiązania całego układu równań (tj. układu Cramera z trzema niewiadomymi i dwoma parametrami) widzimy, że parametrami mogą być tylko zmienne pozostające poza minorem, a więc z, s lub y, s lub y,z lub x,s lub x,z lub też x,y■

• przykład 4.11

Określić liczby rozwiązań podanych układów równań liniowych w zależności od

parametru jr

X	+	py	+	z	-	1
2x	+	V	+	z	=	p	1
X	+	V	+	pz	=	„2 P
px	+	py	+	pz	+	pt	= P
X	+	py	+	pz	+	Pt	= P
X	+	y	+	pz	+	pt	= V
X	+	y	+	z	+	pt	= P

b)

d)

j (2p + l)x- + (p - 3)y = p + 1 . ^a> { (p + 2)x -    2y =    2p '

{px    +    y    +    z    =    1

x    +    y    -    z    =    p    ;

x    -    y    +    pz    =    1

Rozwiązanie

Układ, w którym liczba niewiadomych jest równa liczbie równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy A tego układu jest różny od zera. Każdy przypadek wartości parametru p, dla którego det A = 0 wymaga osobnej analizy zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capellcgo.

a) Rozważany układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

det A =

2p + 1 p - 3

p + 2    —2

-p² - 3p + 4 = (1 - p)(p + 4) # 0,

tzn., gdy pyź — 4 i p yk 1. Macierz rozszerzona układu dla p = —4 ma postać

Stąd wynika, że układ jest sprzeczny, gdyż rz A — 1 < 2 = rz [A\B]. Dla p = 1 mamy

3

3

3-2 2 0 0 0

[A\B] =

^w>ęc rzA = 1 = rz B. Układ równań ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań zależnych °4 jednego parametru.

b) kń^a układu rozważanego w tym przykładzie mamy

1    p 1

= 2p(l - p),

det A =

2    1 1

1    1    p

'dęc ma on dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko ■wtedy, gdy p A 0 i p A 1. Przeprowadzimy teraz analizę układu dla p = 0 oraz p = 1 stosując twierdzenie Kroneckera-dapellego. Dla p = 0 mamy

[A\B\ =

' 1 2	0 1	l	1 1
		1	0 0	UJ2 —2tu\ tt'3 -■ tŁ^:i
[ 1	1	0

'1    0 i

0 1 -i .01-1

‘ 1	0	1	1 '
0	1	-1	-2
. 0	0	0	1 .