WZORYcz 1

Studentów pewnej uczelni zbadano ze względu na czas dojazdu na zajęcia. Na podstawie danych indywidualnych otrzymano następujący szereg rozdzielczy przedziałowy:

Czas dojazdu w minutach (** -*u)	Liczba studentów »i	Częstość	Skumulowana liczebność rKxśXu)	Skumulowana częstość w(x£xij)	Środek przedziału o ^xi	O fi
5-15	3 /	0.06	3	0,06	10	30 .f
15-25	4 '	0,08	7	0,14	20	8fr ’
25-35	19	0,38	26	0,52	30	570
35-45	14 •	0,28	40	0,80	40	560
45-55	5	0,10	45	0,90	50	250
55-65	3	0,06	48	0,96	60	180
65-75	2	0.04	50	1.00	70	140
Razem	50	1.00	X	X	X	1810

Obliczane średniej arytmetyczne]

Miary położenia — wzory interpolacyjne

Średnia arytmetyczna (miara klasyczna)

_ IV/ IB

IT~ n

x_t =• —-— • środek /-tego przedziału n - liczebność zbiorowości n_t • liczebność i-tego przedziału

Mediana (wartość środkowa) (miara pozycyjna) M_x - x_0M + (--n(xś x_0M))

2    n_M

Mr-mediana

n(x £ x_GM)- suma liczebności wszystkich przedziałów poprzedzających przedział mediany : P"** P^{raedz,ału med,an}y    h_M - rozpiętość (długość) przedziału mediany

n - liczebność zbiorowości    ..    ,    ..    ...

n_u - liczebność przedziału mediany

Interpretacja: Polowa jednostek zbiorowości ma warianty cechy mniejsze niż M_x i połowa jednostek zbiorowości ma warianty cechy większe niż M_x ■_

Pierwszy kwarty! (dolny kwarty!)(miarapozycyjna) g, ~x₉q₁ + (—-n(*£xoei))~“"

fjj ⁴    nQ\

Q\— pierwszy kwarty!

Xqq^ — początek przedziału pierwszego kwartyla

n - liczebność zbiorowości

n(x S xqqi ) - suma liczebności wszystkich przedziałów

poprzedzających przedział pierwszego kwartyla

hę — rozpiętość (długość) przedziału pierwszego kwartyla

ng^ — liczebność przedziału pierwszego kwartyla

Interpretacja: 25% jednostek zbiorowości ma warianty cechy mniejsze niż g, i 75% jednostek zbiorowości ma warianty cechy większe niż Q\.

Trzeci kwartyl (górny kwartvl) (miara pozycyjna)    g, =*Jt®ę₃ + (—- n(x 5 x₀g._ ) )——

Interpretacja: 75% jednostek zbiorowości ma warianty cechy mniejsze niż g₃ / 25% jednostek zbiorowości ma warianty cechy większe niż gj.

Dominanta (moda) (miara pozycyjna)

^Dx =*00 +

ⁿD ~ⁿD-\

(»D “«0-i)+(«0 ~ⁿD+1)

ho

n_D+j - liczebność przedziału następującego po przedziale dominanty

h_D - rozpiętość (długość) przedziału dominanty

D_x —dominanta

x_0D - początek przedziału dominanty n_D - liczebność przedziału dominanty ⁿo-\ “ liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty

Interpretacja: D_x jest wariantem 'cechy, który w zbiorowości występuje najczęściej.

Własność średniej arytmetycznej

Jeżeli zbiorowość składa, się z k rozłącznych grup o liczebnościach odpowiednio    »«i(lub

częstościach w^,W2,..._tw/_c ) i średnie arytmetyczne są w poszczególnych grupach równe odpowiednio xj ,X2 ,'~,Xk, to średnia arytmetyczna w zbiorowości jest równa

= x₁W₁ +^2^w2 +-+^xk^wk

n\ + /tj +■...+n4

Miary zróżnicowania

Rozstęp (empiryczny obszar zmienności): R_x -    - x_OTj_n

^x 2

d_r =

n	Z»f
sl-		1*3 JL	x^2-*^2
	n	n
s^2 =	1 (*i-*)^2ni	E Mm i
	lV	Z»/	2>i
S^2	Z(*/ -x)^2n{	Bi
	m	Ift

Odchylenie ćwiartkowe: Odchylenie przeciętne:

Wariancją;

obliczana z danych indywidualnych obliczana z szeregu rozdzielczego pui

p 1    ~*)²

n — 1

Wariancja nieobciażona:

(uwaga: S* = —-Śj ) n

Odchylenie standardowe; S_x =    Ś_x =

Interpretacja odchylenia standardowego: warianty cechy jednostek badanej zbiorowości różnią się od średniej arytmetycznej przeciętnie o S_x.

Względne miary zróżnicowania

Klasyczny procentowy współczynnik zmienności:	t* -*-100	u >is* o o
Pozvcvinv procentowy współczynnik zmienności:	X V^%--100	X
	Mx

Im większa wartość współczynnika zmienności tym większe zróżnicowanie.

Typowy przedział zmienności

Konstrukcja z użyciem miar klasycznych:    (x -Ś_x,x + Ś_xj

Konstrukcja z użyciem miar pozvcvinvch:    (A/_x-Q_x ,M_x +Q_x)

Typowymi ze względu na rozważaną cechę jednostkami zbiorowości są te jednostki, których warianty cechy należą do typowego przedziału zmienności.