003

Elementy logiki

B jako o zdaniu „noszę pasek”, o zdaniu S jako o zdaniu „noszę szelki”, a o zdaniu P jako o zdaniu „moje spodnie nie opadają”.;

Elementy logiki

Dowód

1.    B A S

2.    B

3.    B\J S

4.    BWS

5.    P

P

Wyjaśnienia

założenie

1,    prawo opuszczania koniunkcji 17

2,    prawo wprowadzania alternatywy 16 założenie

3,    4, prawo modus ponendo ponens 19

Ten dowód mógłby być również zapisany w innym porządku. Rysunek 2.1a-d pokazuje cztery inne dowody formalne z tymi samymi założeniami i tą samą tezą. Rysunek 2.1e przedstawia zależności logiczne między tymi zdaniami.

B W S -> P	BAS	BAS	BAS	BAS
, BAS	BV S -* P	B	SAB	j
B	B	BV S -+P	S	■
BV S	BV S	BV S	SVB	|
P	P	P	B V S —* P	BVS B VS
			S V B P	\ /
			P	P
(a)	(b)	(c)	(d)	(e)

Rysunek 2.1

w

W dowodzie w przykładzie 6 korzystaliśmy z trzech reguł wnioskowania, opartych na implikacjach (p A q) p, p =k (p V <?) oraz [p A (p —► ę)] q. W tablicy 2.3 wypisane są te reguły oraz często używane cztery inne reguły. Każda z nich odpowiada implikacji logicznej postaci Hi A ... A H_m C z tablicy 2.2 2.2, poza regułą 34, która odpowiada implikacji pAq pAg.

Stosujemy następujący zapis

H₂

.

C (symbol czytamy jako „stąd” lub „zatem”),

§ 2.4. Rachunek zdań — ciąg dalszy 117

formalnego, możemy powołać się albo na prawa z § 2.2, albo na ich odpowiedniki w tablicy 2.3.

Tablica 2.3. Reguły wnioskowania

28.	P
	P V Q	reguła wprowadzania alternatywy
29.	PAQ
	P	reguła opuszczania koniunkcji
30.	P P^Q
	Q	reguła modus ponendo ponens (w skrócie modus ponens)
31.	P —> Q
	. -nP	reguła modus tollendo tollens (w skrócie modus tolłens)
32.	P v Q ->P
	. Q	reguła modus ponendo tollens
33.	P Q Q -» P
	. P —> R	reguła sylogizmu hipotetycznego
34.	P Q
	\P AQ	reguła wprowadzania koniunkcji

Zauważmy, że równoważności logiczne postaci H i A.. .A H_m < C, takie jak równoważność j[p —» r) A (q —> r)] 4=> [(p V ę) —* z tablicy 2.1 w § 2.2 dają implikacje logiczne i A ... A H_ni =4> ( Zatem dają one również reguły wnioskowania.

Oto dwa dodatkowe dowody pokazujące, w jaki sposób uz sadniamy kolejne kroki w dowodzie formalnym.

PRZYKŁAD 7    (a) Wyprowadzamy implikację s —► r ze zdań p —> (q —» 7

p V -is i q.

1    x ^<nr    \    'znłnż.pnip