014

1

*9. Rozwiąż równanie.

^a> w

+

■x    (1—x)'² 1 (1 — cc)³

b)    x + 1 + (x + l)² + (x + l)³ + ... = 8x² - 1

c)    tgx + tg³ x + tg⁵ x + ... = ^ dla x € (—f; f)

d)    sin² x + sin³ x + sin⁴ x + ... = 1 + sin x

10. W yznacz dziedzinę funkcji f i naszkicuj jej wykres.

a) f(x) = x + x² + x³ + ...    c) f(x) = 1 + y + ^2 + • • •

b) /(;j;) = X + X² - X³ + . . . d) f(x) = -l + |- 4 + ..

11. Wyznacz dziedzinę funkcji / i naszkicuj jej wykres.

a)    f(x) = -1 +

b)    f{x) = -1 +

B I 3—^1	( X — 1
1 «	\ x—2
x- 4	f x—4
1 co 1 B	co 1 B

2

+ ...

2

+ ...

12. Spirala (rysunek obok) składa się z pół-okręgów o promieniach: 2, 1, y, ...

a)    Oblicz długość spirali.

b)    Wyznacz współrzędne takiego punktu P. że spirala przecina każdy z odcinków OP i PA w nieskończenie wielu punktach.

Rozpatruje się również szeregi inne niż geometryczne. Na przykład szereg odwrotności liczb naturalnych zwany szeregiem harmonicznym:

1111 ¹⁺2 + 3 + 4 + 5⁺---

jest. rozbieżny do oo, podczas gdy szereg harmoniczny rzędu 2:

4 ²

2² ' 3²

jest zbieżny i jego suma jest równa

4.18. Szereg geometryczny

Si

'3. Na rysunku obok przedstawiono początkowe fragmenty spiral. Spirala Si składająca się z odcinków o długości: 1, ^, 7p |,... ma nieskończoną długość. Oblicz długość spirali S2 składającej się z odcinków o długości: 1, 0,9, 0,9², 0,9³,...