024 2

a₂ = 1 + 2 • 2 = 5 n - 3

o, = 1 + 2 • 3 = 7 itcl ...

Drugim ważnym sposobem opisywania ciągu jest wzór rekurencyjny. Obliczmy teraz kilka pierwszych wyrazów ciągu opisanego za pomocą tego właśnie typu wzoru:

(«| = 2
	1 a + —
\ // -+- 1	^w 3
= 1
z/, = a, +		‘ 1-
2 1	3 3	3
	^1 , 1 1	2
+ II d		= 1 —
j 2	3 3 3	3
	i 2 1	_ 3
a, = a, +	--1 —l—
4 3	3 3 3	- >3
itd ...

Jak widać, wzór rekurencyjny (indukcyjny) opisuje nam dany ciąg w taki sposób, że najpierw podawany jest wyraz pierwszy lub kilka pierwszych wyrazów danego ciągu, a wzór na n-ty wyraz podajemy w zależności od wyrazów poprzednich.

Definicja

Ciąg (a_n) nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej n > 1, dowolny wyraz ciągu (oprócz pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego, czyli zachodzi nierówność:

a_n +, > a_n lub inny zapis a_n_, - a_n > 0 dla każdej liczby n> 1.

def

(a ) 7¹ <=> a ci , - a > 0

" n e N₊    "⁺¹

a

Ciąg {aj nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej n > 1, dowolny wyraz ciągu (oprócz pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego, czyli zachodzi nierówność:

24