025(1)

II. Przypadek, gdy dla x -* a lub x -> oo funkcja f(x) staje się ilorazem

II. Przypadek, gdy dla x -* a lub x -> oo funkcja f(x) staje się ilorazem

[przypadek^.

dwóch wielkości nieskończenie wielkich 73. Wyznaczyć granice:

3xr— 1 ¹⁾!^+2x

14 7"'²

3) Hm

n ->-f cc J ‘

2) lim --~=r

n * - oo ] «² + 1

.    ..    2-4-44~6-t ... 1-2/7

'    1+3+54 ••• -! (2/i i 1)

5) lim *    «*g

lg 2-v

(H

⁶⁾*i*+?+śh.“?

Rozwiązanie. Przekonawszy się najpierw, że mamy do czynienia z przypadkiem przekształcamy odpowiednio funkcję.

1) Dzieląc licznik i mianownik ułamka przez .v² (czyli przez najwyższą z występujących potęg x) znajdujemy

, ¹

3x²--1    ³~*²'    3-0

im — -= - - — Jim---w~— - n

_x,oo 5x*+2x    ₅_i_ A    540

¹ .V

1

^ oraz y ^s‘l nieskończenie małymi.

ponieważ dla x -> oc wielkości Zadanie można także rozwiązać w inny sposób, za pomocą zamiany zmiennej. Podstawiając mianowicie x =-^ otrzymamy: a -» 0, gdy x -» oo,

zatem

..    3^-1

Inn -- y- -_x ,« 5jt + 2x

lim *--_-—lim

o-o 4 i ± a^{2 r} a

3-a² 5 +2u

3

5

Ogólnie, przejście graniczne dla x -* co można zawsze sprowadzić do przejścia granicznego dla a 0, jeśli za nową zmienną przyjmie się odwrot-

nosc zmiennej wyjściowej, czyli a = -.

2) Zadanie to, tak jak i poprzednie, można rozwiązać dwoma sposobami.

Dzieląc licznik i mianownik przez n otrzymamy

lim —j._

nco J//i² + 1

— =~ lim

1

Z kolei podstawiając n = — mamy a -* — 0, gdy n -* — oo, zatem

= lim

V*+«

= lim

—]/1-+#²

= -1

Minus wystąpił tu na skutek wprowadzenia pod znak pierwiastka kwadratowego (w pierwszym rozwiązaniu) oraz na skutek wyłączenia przed pierwiastek (w drugim rozwiązaniu) ujemnego czynnika, ponieważ dla a < 0, mamy

a\b = — \TcPb i \a²b=—a\fb

\

Z rozwiązania tego zadania wynika, że dla n -> -)-oo granica danej funkcji jest równa jedności, zaś dla n -»• oo granica tej funkcji nie istnieje.

3) Mnożąc licznik i mianownik ułamka przez 7~" otrzymujemy

lim

1+7^B+2 “3—7"

= lim

7-"+7²

3 • 7-"-l

0-1-49

Ó-l

= -49

uwzględniliśmy tu, że lim l~ⁿ = 7~^w = 0.

n->+co

4) Licznik jest tu sumą n wymazów postępu arytmetycznego, a mianow nik sumą ;j+l wyrazów innego postępu arytmetycznego. Sumując oba wyrażenia, wg znanego wzoni na sumę postępu arytmetycznego, otrzymamy

2+4+6+ ... +2n „J+a, 1 +3 + 5+ ... +(2/7+1)

2+2 n

= lim—ⁿ — = lim—^    =1

H+l _{1 +} J.

n

1 + 2« +1 . ,

- ₂ — (n+1)

5) Przekształcamy ulameK lożsamościowo tak, aby można go było skrócić przez czynnik dążący do zera; otrzymamy

49

4 Metody rozwiązywania zadań