065 5

Przekształcenie Laplace 'a 65

(8.13)

B

s + 3

s(s + 2)

(8.14)

C =

s + 3 s(s + l)

1

-■>

Przeprowadzając, w sposób identyczny jak w przedstawionym wyżej przykładzie, obliczenia dla przypadku, gdy wielomian M(s) ma różne

pierwiastki: s_t, s₂,.... s„, otrzymujemy¹:

(8.15)

L(s)

M(s)

(■?

~h)

_e>v

M'{s_k)

t> 0

Otrzymany wzór":

(8.16)    _m = f    _t > o

H ^M (hi

jest znany jako wzór Heaviside’a.

Przejdziemy teraz do omówienia przypadku, gdy wielomian M(s) ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, ale występują pierwiastki wielokrotne.

Przykład 8.3. Mianownik transformaty:

(8.17)

F(s) =

s + 3

(.9 + 1)(.t + 2)²

^! Mamy: M(s)-(s-s_k)M_k{s). Więc M'(.v)-(s-s_k) M'_k{s)+ M_k(s), skąd    M_k(s_k).

Przedstawiony sposób obliczenia współczynników rozkładu funkcji Fis)-—i- na ułamki

M(s)

proste „przemilcza” następującą niedogodność. Ponieważ At(,s_k) = 0. zatem wartości F(s_k) oraz F(s_k){s -s_k) nie są określone. Można jednak zauważyć, że - stosując regułę de 1'Hospitala -

otrzymujemy:

^-(s

Mis)

s_k)

= lim

L{s)

Ai(s)

is

-s_k) =

^Lis_k) M'is_k)'

Warunek:

M'(s_k ) ^ 0 jest spełniony, bo - z założenia - pierwiastki są jednokrotne.