096(1)

427.    x = acośt, y = ańn~t w dowolnym punkcie

Wyznaczyć współrzędne środka krzywizny, a także narysować krzywe koła krzywizny krzywych:

428.    3y = x³ w' punkcie, w którym x = — 1

429.    y³ = x² w punkcie o rzędnej y = 1

430.    y = lnx w punkcie przecięcia się z osią Ox

431.    y = e^x w punkcie przecięcia się z osią Oy

Wyznaczyć punkty o najmniejszym promieniu krzywizny dla krzywych:

432.    y = lnx    433. ]/x+\ y = j/a

Napisać równania ew'olut krzywych i wykreślić te krzywe i ich ewoluty: 434. y²—2x = 0    435. X²—y² = a²

i    .    '

436 x = a(cost+/sint), y = «(sinr—tcosr)

CAŁKA NIEOZNACZONA

§ 1. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona.

Podstawowe wzory rachunku całkowego

Poszukiwanie funkcji F(x), gdy znana jest jej różniczka ciF(x) = f(x)dx (lub gdy znana jest jej pochodna F'(x) — f(x)), czyli działanie odwrotne do różniczkowania nazywa się całkowaniem, a funkcję szukaną F(x) nazywa się funkcją pierwotną funkcji f(x).

Każda funkcja ciągła f(x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych różniących się o stałą: jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), czyli F'(x) — f(x), to i F(x) ^: C. gdzie C jest dowolną stalą —jest też funkcją pierwotną funkcji f(x), ponieważ [F(.x) —C]' — F'(x) --- f(x).

Ogólne wyrażenie F(x) j-C zbioru wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) nazywa się całką nieoznaczoną tej funkcji i oznaczane jest symbolem / | f(x)dx — F(x)^JrC, jeżeli d[F(x)f C] = f(x)dx

Rys. 92

Geometrycznie, w układzie współrzędnych xOy wykresy funkcji pierwotnych dla danej funkcji f(x) tworzą rodzinę krzywych, zależną od jednego parametru C. Krzywe te powstają z jednej z nich przez równoległe przesunięcie wzdłuż osi Oy (rys. 92).

13*

195