099(1)

• 3) Mnożymy i dzielimy całkę przez 3, czynnik 3 wprowadzamy pod znak całki (własność III), a następnie pod znak różniczki; mamy

J cos3<pd(p = Jco$3(fd(3<p) = ~sin39?+C

ze wzoru 5, gdy u = 3<p.

4) Mnożymy i dzielimy całkę przez — ~ i czynnik — ~ wprowadzamy pod znak całki i różniczki; mamy

J e~^dx = -2 J e~^d(-~\= -2e~^+C

ze wzoru 3, gdy u = —.

5) Mnożąc i dzieląc całkę przez a oraz uwzględniając, że adx = d(ax-\-b), otrzymamy

/

sin (ax+b)dx

sin(ax+ b) d (axĄ-b)

cos(ax-f &)~r

C

ze wzoru 4, gdy u = ax \ b.

6) Mnożąc i dzieląc całkę przez 5, otrzymamy

f * ~5'J 5, + 4 * = 5- W + ^C

ze wzoru 2, gdy u — 5.x+4, u' = 5. Całkę tę można też obliczyć inaczej

Ą

ln ¹ x+-=-o

' r^dx~

^x+s

wg wzoru 2, gdy u = jc+4/5, u' = 1. Oba wyniki są poprawne, o czym można się przekonać przez zróżniczkowanie.

439. Obliczyć całki:

1) J (3 — 2X)¹ dx    2) J sec²(tn—nx)dx    3) j tg<pd<p

Rozwiązanie: 1) Mnożąc i dzieląc całkę przez —2, wprowadzając czynnik —2 pod znak całki, na mocy własności III, i zastępując —2dx przez d(3—2x), co nic nie zmienia, otrzymamy

wg wzoru 1, gdy u = 3—2x, a = 7.

2) Mnożąc i dzieląc całkę przez — n, oraz korzystając z równości

— ndx — d(m—nx), znajdujemy

I sec²(m—nx)d(m—nx) = —^ tg(m—nx)^JrC

wg wzoru 6, dla u = m—nx.

sin <p

3) Zastępując tg<p przez ~_cosrp~, otrzymamy

| tgrpdrp — I — ■— drp = — | —dcp = J    J cos (p    J cos <p

_ _ | dcOS(p _ —J_n j_COSęr,j C

J cos <p

ze wzoru 2; dla u = cos<p mamy u' = — sinę?, du = — sinę? d(p.

Warto zapamiętać słowne brzmienie wzoru 2: jeśli pod znakiem całki mamy ułamek taki. że jego licznik jest różniczką mianownika, to całka równa się logarytmowi z wartości bezwzględnej mianownika.

Obliczyć całki i sprawdzić wynik przez zróżniczkowanie (dla skrócenia zapisu, w odpowiedziach do zadań z tego rozdziału stała dowolna C została pominięta):

440. I x⁴ dx

201