100 42

.92

Równanie charakterystyczne (3.27) wobec symetrii macierzy naprężeń ma zawsze trzy pierwiastki rzeczywiste, które oznaczymy <r_it a_it <r₃. Pierwiastki te spełniają jedną z relacji:

») *1 ** cr₃,

b)    a| f* <r_a — lub <r, ■ s₂ <r₃ lub (Tj ■ flj ł* <r₂,

c)    r, - r₂ - «r_s.

Rozważmy najpierw przypadek a). Dla każdego z trzech pierwiastków zeruje się wyznacznik (3.26), a więc dla każdego z osobna możemy szukać rozwiązania układu (3.25) z warunkiem (3.22). Tak więc, dla tr_x otrzymamy »^w)(a_IX, a₁₂, ct|₃); dla a₂ znajdujemy > ®2j) i wreszcie dla <r₃ mamy ®^(,)(^asi i ^asa» «jj)> Można udowodnić, że wektory _va>, „(2) | ₀(2) _Są wzajemnie prostopadłe, tworzą więc układ ortonormalny. Mamy zatem trzy płaszczyzny wzajemnie prostopadłe, którymi przecinając bryłę otrzymujemy ekstremalne naprężenia normalne. Wartości ekstremalnych naprężeń normalnych możemy wyznaczyć podstawiając obliczone <x,j z warunku koniecznego do wzoru (3.21), sprawdzając wcześniej warunek wystarczający istnienia ekstremum. Postąpimy jednak nieco inaczej.

Wersory v^(l) wyznaczają w przestrzeni nowy ortogonalny układ osi. Ich współrzędne w układzie (xD stanowią macierz przejścia do nowego układu, którego osie oznaczamy zwykle /, 2 i 3. Zastanówmy się, jaką postać przybiera macierz naprężeń w tym nowym układzie. Odpowiedź jest natychmiastowa, jeśli porównać wzory (3.18) i (3.24), mianowicie:

P, | T,v,

*(0*^<0 " T_ę-v^ln.

Z powyższego porównania widać, że jeśli tensor naprężeń pomnożymy przez wektor v^w, otrzymamy w rezultacie

pjp ==    (nie ma sumowania względem i),    (3.28)

a więc wektor j>$? współliniowy zwersorera v^{t), którego długość jest równa Wielkości <r₂, a₃ są więc naprężeniami głównymi. Wektory określone wzorem (3.28) są prostopadłe do płaszczyzn przekroju o normalnej v⁽⁰, a zatem naprężenia styczne przy przekroju tymi płaszczyznami są równe zeru. Macierz naprężeń w układzie (1,2,3) przyjmuje więc postać:

|lu 0, 0 \

7V-|0, a₂,0 ].    (3.29)

\0, 0, o₃)

Przypadek b), kiedy dwa pierwiastki równania charakterystycznego są sobie równe, y np. ej    a₂ = <r», występuje dość często. Z analizy tensorowej wiemy, że wartości

własnej a_l odpowiada wektor własny n⁽¹⁾, natomiast wartości własnej a₂ » <r₃ odpowiada cała płaszczyzna wektorów własnych prostopadła do wektora «^<Ł). Oznacza to w analizie naprężeń, że przy przecięciu bryły każdą płaszczyzną równoległą do ®⁽¹⁾ otrzymujemy wektor naprężenia prostopadły do tej płaszczyzny i o długości równej a₂ w ff₃.

Jeśli równanie charakterystyczne ma wszystkie trzy pierwiastki równe a_x — a_x — <r₃ (przypadek c), to każdy wektor jest wektorem własnym, a zatem przy przecięciu bryły fcf każdą płaszczyzną otrzymujemy wektor naprężenia prostopadły do płaszczyzny przekroju i o długości ff_t mm a₂ ■» <r₃.

Zadanie 1. Udowodnić, źe/_x,/,. /, występujące we wzorze (327) tą ,w naan^an vz|^aa Atofa współrzędnych.

Rozwiązanie zadania Jest natychmiastowe; wartofd aepręźeń Równych nie swn    ot składa

współrzędnych, a więc współczynniki równania (327) nasza być ńeznaeanilraarś

Dowód możemy przeprowadzić również bezpośrednio, co pebtesy na przykładzie Massy «y> kazać, że o;/ «= u», Dokonując zrównania wskaźników we wzorze (3.1?) waay

Zadanie 2. W pewnym punkcie dała dana jest macierz naprężeń (której demfnty podano w MKsć);

100, 40, -40, 50, -20, 30,

Znaleźć w tym punkcie naprężenia główne i ich kierunki.

Naprężenia główne znajdziemy rozwiązując równanie darakleryrtyczne (327). Znajdujemy aąginw niezmienniki

r_Ł - 100+50—10 - 140 - 14-10-—-, nr

M

I, w    W -192-10*

Równanie charakterystyczne przyjmuje więc postać:

o*-14* 10o*+6-10*0+192-10* - 0.

Pierwiastkami równania, a więc naprężeniami głównymi są r, ■ 122,2 MN/m*, «* ■ 49*4 MW,

cr_a — MN/m*.    *    ..    ^;

Wektor normalny do płaszczyzny głównej, odpowiadającej naprężenia głównemu *i najdziemy 2 równań (3.25)

(100.0- 122^!)a_u+40_t0a_u-20.0a_tt - 0, 40,0a_n+(5(3,0— 122^)a_u+30,0a_ia - 0,

—20,0o₁₁+30,0a_lł+(—10/3—122^)o_M - 0.

Biorąc pod uwagę dwa pierwsze równania i przyjmitjąc 2a parametr rozwłązaaia $££ S t

-22^a_u+40,0a_u-20.0/ — 0, 40,0a_u—72^a_u+30,0/ - 0.

Stąd ou - -85,9141 /, a„ - -47,1823/, a_u - /. Z warunku (3JZZ): />/<-8S.9l4I)*+f-4».l«3P+ I E ! wynika / w 0/3102, a więc

«u -

-0,8763. a_M - -0,4813.    o^- 0,0102