100 47

102

do /„ a następnie lukiem o promieniu O_sA znajdujemy punkt przecięcia z okręgiem K,_it którego współrzędne stanowią rozwiązanie (wobec y — 90° punkt B leży na osi i ma odciętą <r_m = tr_It a więc łuk O_t B jest lukiem okręgu K_l2). Gdybyśmy dodatkowo założyli, że w danej macierzy naprężeń o₃ = 0, wówczas przecinając bryłę dwiema płaszczyznami wzajemnie prostopadłymi, których krawędź przecięcia jest równoległa do osi (3) i przyjmując określony tymi płaszczyznami nowy układ współrzędnych    , x₂, x₃ = (3)) możemy—wykorzystując

konstrukcję kół Mohra — wyznaczyć macierz naprężeń określoną w nowym układzie

/<r,„ tfu, 0\

(3.41)

\0, 0, 0/

Przecinając bryłę płaszczyzną prostopadłą do osi x_t o wersorze »(a,,, a_l2,0) przyjmiemy oznaczenie <r_p — <r_u oraz r_p — o, ₂ i podobnie postąpimy przy przecięciu drugą płaszczyzną. W tym ostatnim przypadku konstrukcję prowadzącą do wyznaczania a_tJ można jeszcze uprościć, a także można pokazać konstrukcję wyznaczania naprężeń głównych i ich kierunków, jeśli dana jest macierz (3.41). Konstrukcje te możemy znaleźć w wielu podręcznikach i książkach dotyczących wytrzymałości materiałów.

§ 2. Równania Nariera, statyczne warunki brzegowe

Jak pokazaliśmy w poprzednim paragrafie, podstawą analizy stanu naprężenia jest znajomość tensora naprężeń w każdym punkcie bryły. Znajomość tej macierzy dotychczas zakładaliśmy. Teraz postawimy pierwszy krok w kierunku jej znalezienia. Zanim jednak przystąpimy do zadania przypomnijmy sobie dwa twierdzenia z matematyki o współrzędnych iloczynu wektorowego i zamianie całki powierzchniowej na objętościową.

Twierdzenie (o współrzędnych iloczynu wektorowego). Jeżeli dane są dwa wektory a(a_l, a₂, a₂), b(b_t, b₂, b₃), to współrzędne wektora c = axó możemy zapisać

^ci — ^eijk^ajbk »

gdzie tyi jest symbolem Ricciego zdefiniowanym następująco:

{1, gdy wskaźniki tworzą permutację parzystą,

— l„gdy wskaźniki tworzą permutację nieparzystą,

0, gdy co najmniej dwa wskaźniki są równe.

Twierdzenie (Grcena-Gaussa-Ostrogradzkiego). Jeśli dany jest obszar V, ograniczony zamkniętą gładką powierzchnią S zorientowaną zewnętrznie, oraz jeśli w obszarze domkniętym V+S dane są trzy funkcje P(x_l, x₂,x₃), Q(x_L, X₂, x₃) i Ufa»^x2> kląsjf; co najmniej C_Ł, to zachodzi równość

JJtPcos(f,x₁)+gcos(f,a^)+Jtco»(*,x₃)]dS -    ^dK*

m

2.1, Równania równowagi

Niech bryła o dowolnym kształcie określona w układzie (z,), obciążone układem Oś zewnętrznych (Z) ■ (0) pozostaje w równowadze. Z wnętrza tej bryły o objętości V wytnijmy dowolny element o objętości V₀ i powierzchni S_Q (rys. 3.15).

Rys. 3.15

Na każdy punkt powierzchni S₀ działają siły wewnętrzne o gęsŁcZ-d niech na każdy punkt wewnątrz elementu o objętości V₀ działają siły masowe o gęstości P. Zgodsue z twierdzeń i cm o równoważności układów sił zewnętrznych i wewnętrznych układ sił na wycięty element objętościowy jest układem równoważnym układowi zerowemu. Spełnione muszą więc być warunki:

5 = jjp_td5o+jjjPdK_o = 0,

Mo = Hrxp,dS₀+ JJj rxPdV₀ = 0.

Warunki te zapisane w postaci analitycznej przyjmują postać (dla i = 1,2,3):

Si - Hc_DldS₀+HiP^Y* = 0,    (3.42a)

Mi | ii e^/rrtdSo+ffle^jPjyo = 0. (3.42b)

Równania (3.42) przekształcimy do innej postaci. Weźmy najpierw równość (3.42a). Zgodnie ze wzorem (3.17) naprężenie p, na powierzchni S& w punkcie o normalnej zewnętrznej v możemy przedstawić poprzez współrzędne wektorów /„ p₂ > Pt oraz współrzędne wersora v w tym punkcie. Otrzymamy wówczas:

Dalsze przekształcenia łatwiej zrozumiemy, jeśli rozpiszemy funkcję podcałkową w pierwszej całce:

Ponieważ a_v[ == cos(n, Xj), spostrzegamy, że zgodnie z twierdzeniem Greent-Garaa--Ostrogradzkiego możemy zapisać

Zapisując powyższe równanie pod wspólną całką oraz wykorzystując umowę sumacyjaą mamy:

(3,4?)