118

Przekształcenie <p-.S -* T nazywamy zanurzeniem (lub injekcjq) systemu S w systemie T, gdy <p jest przekształceniem różnowartościowym oraz zachowuje odpowiadające sobie działania dodawania oraz wyróżnione elementy.

Jeśli zanurzenie <p systemu S w system T przekształca zbiór S na zbiór T, to <p jest izomorfizmem.

Przykłady

1.    Każdy izomorfizm systemów algebraicznych jest zanurzeniem.

2.    Niech K będzie ciałem, a L niech będzie podciąłem. Przekształcenie cp‘. L K, określone wzorem <p(x) = .r dla każdego xeL, jest zanurzeniem ciała L w ciele K.

3.    Działania w ciele C oznaczmy dla większej przejrzystości przez -r₁ i -_lta wyróżnione elementy przez Oj i lj (tj. 0₁ = (0,0), 1₁ = (1,0) ).Przyjmijmy,

że <p{x) = Cr, O) dla każdego reK. Funkcja <p jest zanurzeniem ciała liczb rzeczywistych K w ciele liczb zespolonych C. Istotnie, jest to funkcja różnowartościowa, gdyż z nierówności a =£ b, gdzie a, beU wynika, że (a,Q) r (b,0), a więc <p{cć) t <p(b). Oprócz tego, dla r,yeK,

<p(x + y) = (* + y,0) = (r,0) +_Ł (y,0) oraz

<p(x ■ y) = Cr - y, 0) = (r, 0) -_Ł (y, 0)

Ponadto

*>(0) = (0,0) = 0i , <p( 1) = (1,0) = l_v

Co kończy dowód zapowiedzianego rezultatu.

Zauważmy, że zanurzenie <p systemu S w system T wyznacza izomorfizm systemu S na pewien system zawarty w systemie T. Rozważmy bowiem podzbiór (p(S) zbioru T. Łatwo wykazać, że podziob ten jest zamknięty ze względu na działania określone w T oraz zawiera wyróżnione wT elementy, a więc możny być rozpatrywany jako pewien system algebraiczny; system ten oznaczamy przez cp(S) (a wiec tym samym symbolem co jego zbiór elementów). Wtedy zanurzenie <p.S -» T wyznacza izomorfizm S na <KS). Zgodnie z umową o utożsamianiu możemy więc, ilekroć dane jest zanurzenie cp:S -» T, utożsamić każdy element aeS z odpowiadającym mu elementem <p{a) e<p(S)crS.

Symbolika dla liczb zespolonych

Ponieważ przekształcenie cp z przykładu 3 jest zanurzeniem, wiec każdą liczbą liczbę zespoloną postaci (a, 0),gdzie a eR możemy utożsamić z liczbą rzeczywistą a. Oznaczmy przez i liczbę zespoloną (0,1). Wtedy dla dowolnej liczby (a,b) eC mamy (a, i?) = (a. O) + (b,0)(0,l) = a + bi. (W ostatnim kroku skorzystaliśmy z umowy dotyczącej utożsamiania liczby zespolonej (a, 0) z liczbą rzeczywistą a oraz liczby zespolonej (0,b) z liczbą b oraz przyjmując za i liczbę (0,1).)

Liczbę rzeczywistą a nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolone] (a, b~) i oznaczamya = i?e(a,b), a liczbę rzeczywistą b nazywamy częścią urojoną liczby zespolone] (a,b~) i oznaczamy h = lm(a, bj. Jeśli część urojona jest równa 0, to mówimy, ze z jest liczbą rzeczywistą; jeśli część rzeczywista jest równa 0, to mówimy, ze z jest liczbą urojoną.