126(1)

lub wprost ze wzoru na objętość stożka ściętego, znanego z geometrii elementarnej.

Objętość V₂ bryły utworzonej przez obrót trapezu krzywoliniowego AiAOBBi obliczamy ze wzoru (A)

* - t _jf ~ t [tL - w (■+²«)=4 -

Poszukiwana objętość wynosi V=V₁-V₂ =    —

3    5    J 5

4) Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wokół osi Ox aste-'oidy (rys. 112) obliczamy ze wzoru (A)

V — n f y^Łdx = n J y*dx = 2ji J y^tdx

xi    -_a    0

Biorąc za podstawę & ne równania parametryczne asteroidy x — acos³r, y = as\n^lt wprowadzamy w ostatniej całce zmiemią t. Mamy y² = ahw⁶t, dx = —3acos²tsintdt, oraz / = n/2, gdy * = 0 i t = 0, gdy x = a. Wobec tego

a    0

V — 27t j y²dx =—6a³7t f sin⁶ / cos²1 sin /dt

0    jt

~2

W dalszym ciągu przekształcamy tożsamościowo wyrażenie podcałkowe i stosujemy wzór na całkowanie potęgi. Otrzymujemy

o

K= 6a^J?r f (1 — cos²-/)³cos²/(—sin/)*// =

71

T

o

= 6a³n I (cos²/—3cos⁴/+3cos⁶/—cos⁸/)*/cos/ =

Tl

T

r 1    3    3    i “jo 32

= 6a³jt y COS³/--y COS⁵ /+ y COS⁷ / - y COS⁹ r |    = ^05' ^

5) Bryła powstała przez obrót odcinka parabolicznego ABC, ograniczonego parabolą y = 4—a-² i osią Ox (rys. 113), dookoła prostej x = 3 ma tę własność, że każdy z jej przekrojów prostopadłych do osi obrotu jest pierścieniem kołowym, ograniczonym dwoma współśrodkowymi okręgami.

Pole takiego przekroju odległego o >Cod początku układu wynosi S — =wi?²-7rr²=?r[(3-(-x)²-(3-x)²] = 127r.v= I2n^4—y, gdyż x jest odciętą

punktu leżącego na danej paraboli, czyli x = > 4—y.

Przy’ zmianie y o dy różniczka objętości bryły wyniesie dV = S{y)dy =

= \2n\'4—y dy.

Szukaną objętość wyczerpiemy, gdy y będzie zmieniać się od 0 do 4. Dlatego całkując dV w tych granicach otrzymamy

4    ⁴    ±

V — 12tz f }[4^ydy = -12nf (4-y)² d(4-y) = o    o

= 8jr|^(4 —y)*j = 64rr

Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót figury ograniczonej liniami:

255