1231

Jeśli do równań tych wstawi się odkształcenia jako funkcję naprężeń o^'.

(4) €ij = 2\i'o_ij + MSijs, s = a_kk.

to uzyska się układ sześciu równań w naprężeniach

2 u’ -\- X    X

(5) V²cr_(/ +    Sij + — 5_i;V²s + n'(a_ikjk + Ojk.ik) = 0.

Wstawiając do równań (5) zależności: i    _ A

⁼ V ¹ " 2^(3A + 2j«)

oraz wykorzystując równania równowagi (1) otrzymano układ równań:

2    (A -f- /i)

3    A + 2/z

3A + 2ju

^<^£;V²5 + Xij 4* Xj i = 0.

Przez wykorzystanie równań równowagi (1) sprowadzono układ równań (1) i (5) do postaci sześciu równań różniczkowych (6). Dalsze uproszczenie równań (6) otrzymać można w następujący sposób - dokonując na równaniach (6) kontrakcji. Prowadzi

ona do związku:

3A + 2 /u.

(7) V²s

2„ _

A 4“ 2 /i

X

k,k ■

Eliminując za pomocą związku (7) wielkość V²s z równań (6) dochodzi się do

ostatecznej postaci równań naprężeniowych:

1    ,    _N v

(8) V²<y_u +

1 + v

^sij ~ i,j "I" Xji )

1 + V

^ijXk,k> V

A

2 (A + //)

Do równań tych należy dodać równania równowagi (1) oraz warunki brzegowe (2). Dla wyznaczenia sześciu składowych stanu naprężenia mamy do dyspozycji sprzeczny układ dziewięciu równań, sześć równań różniczkowych drugiego rzędu (8) oraz trzy równania pierwszego rzędu (1).

Należy jeszcze rozpatrzeć przypadki szczególne. Jeśli siły masowe mają charakter sił zachowawczych o potencjale harmonicznym, czyli:

(9)    X_t = n, V²<p = 0,

to równania (8) przyjmą postać:

(10)    V²a_ij+X;Sij = -2ę_ij.