1232

Na podstawie równania (7):

(11) V²s = 0.

Niezmiennik stanu naprężenia 5 = o_xl + o₂₂ + ^33 jest funkcją harmoniczną. Jeśli na

równaniach (10) wykonać operacją laplasjanu, to :

(12)    V²V²<J;y = 0.

Naprężenia <j_i;- stają się funkcjami biharmonicznymi. Analogicznie wnioski wynikają dla stałych sił masowych.

Równania Beltramego-Michela wyprowadzić można również na innej drodze, traktując jako punkt wyjścia równania przemieszczeniowe. Postępowanie takie jest usprawiedliwione tym, ze w równaniach tych tożsamościowo spełnione są równania

nierozdzielności. W wyniku zróżniczkowania równań przemieszczeniowych:

(13)    ^V²Ui + (A + /z)e_ź + X_t = 0

względem Xj. Otrzymano w ten sposób równanie:

(14)    _juV²Ujj + (A + ju)e(j + Xi'j = 0.

Zmieniając wskaźniki:

(15)    /j.V²Uji + (A + li)6j 1 + Xj i = 0

i dodając do siebie równania (14) i (15) otrzyma się:

(16)    V²e_ij + ke_ij-{X_iJ+X_jii) = 0

Jeśli do tych równań wstawić związki (4), to po prostych przekształceniach dochodzi się do równań:

(17) V²a_u +

_j2 . 2 (A + y)

^ ' 3A + 2/i 3A + 2ju

^sij

S_ijS7²s + X_iij+X_jii =0

Identycznego z układem równań (6).