13(6) 2

b)

laki sam moduł i kierunek danego wek lora. Z rysunku 3.18 otrzymujemy:

" - _VM² +    = _v/^'r + «?    (3. 18)

oraz

0    f 0.    (3.19)

Ważno jest lo, że mamy wielki) swobodę wyboru układu współrzędnych, ponieważ, zwiij/.ki między wektorami (m.in. ich dodawanie — równanie (3.1)) nie zależą od położenia początku układu współrzędnych i kierunku jego osi. Dotyczy io również, związków między wielkościami li/yc/nymi: nie zależą ono od wyboru układu w.x)x>lr/ędnvch. Ponadto. opis wektorowy odznacza się prosiolą zapisu bogatej ireści —jedno równanie. jak (3.10). zawicia w sobie trzy równania. jak < '.II). (3.l_) i (3.l3i. a c/asem nawcl więks/ą ich lie/hę — irudno się żalem d/iwic. że prawa lizyki przedstawiane są niemal zawsze w postaci wektorowej.

3.7. Mnożenie wektorów

Rys. 3 1 8 ;ij Wektor ii r jogo składowe, hi len '.un wcrloi v> -.Mad': • wspol rzędnych nn:no'i!' i:i *< kąl »>

Mnożenie wckioiuw można wykonywać na tr/.y sposoby, lecz żaden z nich nic jest laki sam. jak zwykle mnożenie algebraiczne, należy zatem dobrze poznać podstawowe prawa tych działań

Mnożenie wektora przez skalar

W w \ uiku pomnożeniu wektora a przez skalar \ otrzymujemy now y wektor. Jego moduł jest równy iloczynowi modułu a i wariości bezwzględnej .v. Jego kierunek jest /godny / kierunkiem a. jeśli .v jesi dodatnie, a przeciwny, jeśli v jest ujemne. Aby podzielić a prze/ \. mnożymy a prze/ l/.i.

"• r.Mi • sldaćoua /i w kierunku «

Mnożenie wektora przez wektor

ismięją dwa sposoby mnożenia wektora przez wektor, w jednym przypadku otrzymujemy w wyniku skalar (nazywany iloczynem skalarnym), a w drugim — nowy wektor i nazywany i/oczyacm wchinnmyni). Studentom często mylą się to dwa iloczyny. po.siiiiaj się v. iec odróżniać je od siebie.

w kierunku />

h)

iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny wektorów a i /> (patrz rysunek 3.19). oznaczany a • h. jest /.definiowany jako:

ti ■ b = ab cos0.

(3.20)

Rys. 3.19. a) Dwa wektory a i h tworzące /<: sobą kąi 4>- b> Składowe każdego / lyd) weklonm w kierunku dru giego / nich

' 1’r/ecKtawiune w lym paragrafie zagadnienia będą niezbędne w dalszych częściach wyk tiulu < iloczyn skalarny w rozdziale 7. a iloczyn wektorowy w rozdziale 12). wobec czego jego lekmra może być odlo/ona na jui/.niej.

‘t8    3. Wuktory

przy c/.ym a jesi modułem ii_% b — modułem b. u 0 — kątem między a i l> (czyli mówiąc ściślej — między kierunkami ii i />). W rzeczywistości są dwa kąty. spełniające len warunek: 0 ora/ 360 - 0. Do równania (3.20) możesz. wstawić którykolwiek /. nich. gdyż ach eosimisy mają laką samą wartość.

Zauważ, żc po prawej stronic równania (3.20) występują same skalary (w tym wartość cos0). Wobec lego wyrażenie po lewej stronie równania, t/.n. ii />. jesi wielkością skalarną.

Iloczyn skalarny można uważać /a iloczyn dwóch wielkości: 1) modułu jednego /- weklorów, 2) składowej drugiego wektora w kierunku pierwszego z nich. Na przykład, jak |H>kazano na rysunku 3.1%. a cos0 jesi składową ii w kierunku />; zauważ, żc jest ona równa rzutowi prostopadłemu a na kierunek />. Analogicznie />eos0 jest składową h w kierunku ii.

*■ Jeśli kąl 0 między dwoma wektorami jest równy 0 . lo składowa jednego wektora w kierunku drugiego jest maksymalna, a więc iloc/yn skalarny wek forów jesi av uaj większy. Jeśli natomiast 0 jesi równe 90 . to składowa jednego wektora w kierunku drugiego jest równa /.eru. zatem iloczyn skalarny wckiorów także wynosi zero.

Równanie (3.20) można zapisać w takiej postaci, w której składowe są w> raźnie wyróżnione:

a • h — bfcos0)(/o    l(/)i/)et*N0).    *3.211

Iloczyn skalarny jest przemienny, można więc napisać:

d • h sz h . H.

Jeśli wyrazimy obydwa wektory prze/, wektory jednostkowe, lo ich iloczyn skalarny możemy zapisać w postaci.

a • h = (r/J -4-</_vj + «,*k) • (b_xi + b_yj -r bk).    (3.22)

a następnie skorzystać z rozdzielności mnożenia względem dodawania i wyrazić prawą stronę powyższego równania w postaci sumy iloczynów skalarnych każ dego wektora składowego pierwszego wektora i każdego wekiora składowego drugiego. W ten sposób można wykazać, że:

a ■ b — aJt_K -I a. b_v 3- a b_:.    ( 3.2 ')

j 'SPRAWDZi/.iN . Długości wektorów C i I) wynoszą odpowiednio ^; jedno.aki i l jednostki. Ile wynosi kąl między kierunkami (' i />. jeśli < U wynosi: ;o zeio.

I b) 12 jednostek, cl 12 jednostek?

(3 23)

(3.26)

Przykład 3.6

Ile wynosi kąt 0. utworzony przez wektory <i 3i — łj i /> = -2i + 3k?

ROZWIĄZANIE:

1. Kąt między kierunkami dwóch wektorów występuje w definicji ich iloczynu skalarnego (równanie (3.20)):

(( -b u/?cos0.    (3.24)

W równaniu tym o jest długością wektora a. czyli: o • _v'3^: + l—h-' = 5. a b jest długością wektora />. czyli:

/>- _x/f-2)^s ł 3-*- 3.61.

O—w 2. Zapisując obydwa wektory za pomocą wektorów jednostkowych i stosując rozdzielność mnożenia względem dodawania, możemy obliczyć wartość lewej strony równania (3.2-1):

3.7. Mnożenie wektorów 49