145(1)

nego tak samo jak para pasków), powstającego dzięki zastąpieniu łuku krzywej y = f(x) lukiem paraboli y = z>r\-fix-\-y (o osi-pionowej), przechodzącej przez trzy punkty krzywej o odciętych x,, x_t M = x_i^Jrh< X[, 2 = Xi+2h.

Rys. 139

Rys. 140

Błąd wzoru Simpsona ma oszacowanie

d(n) ■

ityaf

180n⁴ gdzie — największa z wartości |y⁽⁴⁾| w przedziale [a, £].

Oczywiście, każdy z podanych tu wzorów będzie tym dokładniejszy, im więcej będzie punktów podziału, czyli im większe będzie n. Inaczej mówiąc, przy dostatecznie dużej wartości n za pomocą każdego z tych wzorów można obliczyć wartość przybliżoną całki oznaczonej z dowolną wymaganą dokładnością.

Przy jednakowej liczbie podziałów n, drugi wzór jest na ogół dokładniejszy od pierwszego, a trzeci bardziej dokładny niż drugi.

.9 _t_

701. Obliczyć całkę J| 6x—5dx na podstawie,wzoru Newtona-Leib-i

niza i na podstawie przybliżonych wzorów całkowania (prostokątów, trapezów i Simpsona), dzieląc przedział całkowania na osiem równych części. Określić procentowy błąd powstały przy stosowaniu przybliżonych wzorów całkowania.

Rozwiązanie. Na podstawie wzoru Newtona-Leibniza znajdujemy

9    9    ^

/= | /6x^5dx - ’-| (6x-5)²d(6x-5) =    = 38

i    i

t

z kolei dzielimy przedział całkowania [1,9] na osiem równych części o długości h = 1. Zestawiamy punkty podziału i obliczamy odpowiadające im wartości funkcji y = j 6x—5. Mamy

X0 = 1	Jo = 1 1 = 1,0000
*1 = 2	Ti = J 7 = 2,6458
x2 == 3	y2 = y 13 = 3,6056
*3 = 4	y3 = i 19 = 4,3589
x4 = 5	y4 = { 25 = 5,0000
* II OS	ys = 1 31 = 5,5678
x6 = 7	y6 = \ '37 = 6,0828
x7 = 8	y7 = j 43 = 6,5574
*8 = 9	y» = y 49 = 7,0000

Obliczynjy teraz całkę za pomocą przybliżonych wzorów całkowania.

7

i=0

Na podstawie wzoru prostokątów (la), mamy Iz = 34,8183.

Bezwzględny błąd tego wyniku (z niedomiarem) wynosi 3,1817, a błąd

^ 1817 • 100

względny (procentowy) wynosi ——^--£ 8,37%.

8

Na podstawie wzoru prostokątów (lb), mamy Iz \ y_t = 40,8183.

/=i

Tutaj błąd bezwzględny (z nadmiarem) wynosi 2,8183, a błąd względny ²-⁸¹⁸³ • ^10<> ~ _{7 42}o/

38    ~ ‘^Wo-

7

Według wzoru trapezów Iz 4-f- £ 1'i = 37,8183. Błąd bezwzględny

/«tl

wynosi tu 0,1817, a względny -°'¹⁸¹^₈    - z 0,48%.

Według wzoru Simpsona /siy (8+4- 19,1299+2 • 14,6884) z 37,9655.

Błąd bezwzględny wynosi tu 0,0345, a błąd względny 702. Na podstawie wzoru Simpsona obliczyć przybliżoną wartość całki

38

°-⁰³⁴⁵' ¹⁰⁰ s 0,09%.

I cosxdx z dokładnością do 0,000 01.

O

293