158(1)

Oba punkty są punktami krytycznymi, funkcja z jest bowiem określona na całej płaszczyźnie xOy. Innych punktów krytycznych nie ma, ponieważ, pochodne z'_x i z'_y istnieją przy dowolnych wartościach x i y.

Z kolei badamy punkty krytyczne M₁ i M₂ rozpatrując znak wyznacznika A, utworzonego z pochodnych cząstkowych drugiego rzędu z_xx= = A = 6x; z_xy = B = —6; z_yy = C = 48y.

Dła punktu M_x otrzymujemy A — 0, B = — 6, C = 0, więc A (A/j) = = AC—B² < 0 i na mocy warunku 2) stwierdzamy, że w punkcie Mi nie ma ekstremum.

Dla punktu M₂ mamy A = 6, B =—6, C— 24, więc zJ(A/₂)>0. Na mocy warunku 1) stwierdzamy, że w punkcie Mi funkcja ma minimum, przy czym z_min = z {M₂) = 4.

2)    Szukamy punktów krytycznych. Mamy

u'_x = 3x^z - 3, u'_y = 2y+2 > V

Rozwiązując układ równań u'_x = 0, u' = 0 znajdujemy punkty Pi(l, Oj i /^>2(—1,0). Punkty .te należą do obszaru określoności funkcji, którym jest tu górna półpłaszczyzna z osią odciętych włącznie — oo < x < < + co, 0 +oo,^ leżą_one jednak nie wewnątrz obszaru, a na jego granicy. Punkty P₂ i P₂ nie są więc punktami krytycznymi. Z drugiej strony pochodne cząstkowe u'_x i u'_y istnieją w całym obszarze określenia funkcji u. Dlatego funkcja nie ma punktów krytycznych i nie ma też ekstremów. (Gdybyśmy nie uwzględnili tego, że punkty leżące na granicy obszaru nie mogą być punktami ekstremum funkcji, to określając znak wyznacznika A w punkcie P_it doszlibyśmy do fałszywego wniosku, iż jest to punkt ekstremum).

3)    Szukamy punktów krytycznych

v_x = 2(x-y), v_y =— 2(x-y)-f3(y— l)²

Rozwiązując układ równań v'_x = 0, v'_y — 0, znajdujemy tylko jeden punkt Af₀(l, 1), który wobec tego jest jedynym punktem krytycznym funkcji v.

Aby zbadać, czy jest to punkt ekstremalny, obliczamy wartość A w tym punkcie. Mamy v_xx = 2, v_xy = —2, v_yy = 2+6 (y—1), więc A (M₀) = 0.

Okazało się, że A(M_Q) równa się zero (przypadek 3), aby więc ustalić, czy funkcja v ma ekstremum w punkcie krytycznym Mo, musimy zbadać znak przyrostu funkcji Av = v(M)—v(Mo) = (.*—y)²+(y— l)³ w otoczeniu tego punktu.

Przypuśćmy, że punkt M leży na dwusiecznej y = x. Wtedy Av = — (y— l)³. Jeżeli Mznajduje się poniżej Mo, czyli jeżeli y_M < 1, to Av < 0. Gdy natomiast M leży powyżej M₀. czyli jeśli y_M > 1, to Av > 0. Zatem różnica Av nie zachowuje znaku w otoczeniu M₀ i wobec tego w punkcie tyiu nie istnieje ekstremum.

2

4) Szukamy punktów krytycznych. Pochodne cząstkowe w'_x =    »

o    2    .

,/ ₌    — •, w' = j __ nie są równe zeru dla żadnej wartości x, y, z

*    3\/y    3]/z

a nie istnieją (stają się nieskończone) w punkcie Po(0,0, 0). Punkt ten należy do wnętrza obszaru okrcśloności funkcji w, którym jest tu zbiór wszystkich punktów (x, y, z) przestrzeni, a w ięc jest punktem krytycznym.

Z 2_    2_

Rozpatrując różnicę w(P)—w(F₀) = x*-\-y³ +z³ w otoczeniu punktu Po, stwierdzamy, że dla wszystkich różnych od zera wartości x,y,z, ma ona znak dodatni. W punkcie P₀ istnieje więc minimum funkcji równe w_mi„ = w(P₀) = 0.

Zbadać, czy dane funkcje mają ekstremum:

775.    z = x^Zjt-xy-\-y¹—6x—9y

776. ® = x]/y—x²—y+6x+3

777.    p = 2xy—2x-4y

778.    z = ^-i-^+ójcy

779. ę? = (x^z-{-y)y e^y    tf

780.    g = 3in^+2 lny+ln(12-^-y)

O

781*. z = 2-f(x— l)⁴ (y+1)⁶

782*. u — i-0c-2p~-y^

§ 10. Najmniejsza i największa wartość funkcji (ekstremum absolutne)

Pojęcia największej i najmniejszej wartości (czyli maksimum i minimum absolutnego) określa się dla funkcji wielu zmiennych tak samo, jak dla funkcji jednej zmiennej (rozdz. III, § 5).

Największej i najmniejszej wartości funkcji nie należy mylić z maksimum i minimum funkcji, które są własnością lokalną i stanowią największą względnie najmniejszą jej wartość w porównaniu z jej wartościami w punktach sąsiednich.

319