1231366170862552945495770262940834240478 n

2014 2015

wiLiS Budownictwo sem. 3 Kolokwium 1 z Matematyki III

Zadanie I (8pkl - rozwiązanie piszemy na stronie lj

Dane jest pole wektorowe V(x,y, z) [a{y² -f 2xⁱz),8xy - 9y²z,2x^Ą - 3t/³]. gdzie

a e R jest parametrem.

aj Podaj treść twierdzenia o niezależności całki krzywoliniowej od flrogi całkowania i wyznacz wartość parametru a, dla której pole V spełnia założenia tego twierdzenia, b) Dla wyznaczonej wartości a oblicz całkę

I a(?/² + 2x?z)dx + (8xy - 9y²z)dy + (2x^A - 3y³)dz,

L

gdzie L jest lukiem gładkim o parametryzacji x = cos i, y = sin A, z — \t dla 0 < L < 7r, zorientowany zgodnie ze wzrostem t.

Zadanie 2 [6pkt - rozwiązanie piszemy na stronie 2|

Oblicz całkę

J x[x + y)dl,

L

gdzie /, jest okręgiem o środku w punkcie (0,1) i promieniu 3.

Zadanie 3 |6pkt. - rozwiązanie piszemy na stronie 3)

aj Krzywa L jest, brzegiem trójkąta o wierzchołkach >4(0,0), #(2,2), C(2.1). zorientowanym t.ak, jak wskazuje kolejność punktów A, B,C. Oblicz całkę krzywoliniowa

J xy²dx- x²ydy.

L

bj Wyjaśnij, jak do obliczenia powyższej całki można wykorzystać twierdzenie Gro-ona i zastosuj je, aby sprawdzić otrzymany wynik.

Zadanie 4 |6pkt - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Uzasadnij, że w każdym punkcie krzywej L: r(t) = |2t, ln U /² ], gdzie t > 0, suma jej krzywizny i skręcenia jest równa zero. Czy krzywa L jest płaska⁹

Zadanie 5 [4pkt - rozwiązanie piszemy na stronie 4)

Wyznacz środek i promień okręgu ściśle stycznego do krzywej L z poprzedniego zadania w punkcie P{2,0, lj. Podaj równanie płaszczyzny, w której leży ten okrąg oraz równania krawędzi trójścianu Freneta w punkcie P, leżących w tej płaszczyźnie